On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x)=2xe^{-x}.
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1].
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f (x) = x sur l'intervalle [0 ; 1] ?
On résout l'équation f (x) = x sur l'intervalle [0 ; 1] .
On a les équivalences suivantes :
f(x)=x
\Leftrightarrow 2xe^{-x}=x
\Leftrightarrow 2xe^{-x}-x=0
\Leftrightarrow x\left(2e^{-x}-1 \right)=0
\Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } 2e^{-x}-1 =0
\Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } 2e^{-x}=1
\Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } e^{-x}=\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } -x=\ln \left( \dfrac{1}{2} \right)
\Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x=\ln (2)
Or, 0 et \ln(2) sont deux réels appartenant à l'intervalle [0 ; 1].
L'ensemble des solutions de l'équation f(x)=x est \left\{ 0;\ln(2) \right\}.
Quelle est l'expression de f'(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 1] ?
La fonction f est dérivable sur [0;1] en tant que composée et produit de fonctions dérivables sur [0;1].
On a, pour tout x \in [0;1] :
f'(x)=2e^{-x}+(-2xe^{-x})
On obtient, pour tout x \in [0;1] :
f'(x)=2(1-x)e^{-x}
L'expression de f'(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 1] est f'(x)=2(1-x)e^{-x}.
Quel est le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] ?
On sait que pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], f'(x)=2(1-x)e^{-x}.
On sait que la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives sur \mathbb{R}.
Et on a :
- f(0)=2\times0\times e^0=0
- f(1)=2\times1\times e^{-1}=2e^{-1}
On peut donc établir le tableau de signes de f'(x) sur [0;1] :
On en déduit le tableau de variations de la fonction f sur [0;1] :
Le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] est :
On considère la suite (u_n ) définie par u_0 = 0{,}1 et pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f (u_n ).
Quelle inégalité est vraie pour tout entier naturel n ?
Prouvons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1.
Pour tout entier naturel n, notons P(n) la propriété 0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1.
Initialisation
On a :
- u_0=0{,}1
- u_1=f(u_0)=f(0{,}1)=2\times0{,}1\times e^{-0{,}1} \approx 0{,}18
On en déduit que :
0 \leqslant u_0 \lt u_{1} \leqslant 1
Ainsi, P(0) est vraie.
Hérédité
Soit n un entier naturel.
On suppose que P(n) est vraie, c'est-à-dire que 0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1.
Comme la fonction f est strictement croissante sur [0;1], on en déduit que :
f(0) \leqslant f(u_n) \lt f(u_{n+1}) \leqslant f(1)
Or, on sait que :
- f(0)=0
- f(u_n)=u_{n+1}
- f(u_{n+1})=u_{n+2}
- f(1)=2e^{-1}
On a donc :
0 \leqslant u_{n+1} \lt u_{n+2} \leqslant 2e^{-1}
Or, on a :
2e^{-1} \approx 0{,}74
Donc :
2e^{-1} \lt 1
Par conséquent :
0 \leqslant u_{n+1} \lt u_{n+2} \leqslant 1
On en conclut que P(n+1) est vraie.
Conclusion
On a ainsi montré que :
- P(0) est vraie ;
- pour tout entier naturel n, P(n) \Rightarrow P(n+1).
On en conclut que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, l'inégalité 0 \leqslant u_n \lt u_{n+1} \leqslant 1 est vraie.
La suite (u_n ) est-elle convergente ?
On sait que, pour tout entier naturel n, on a :
u_n \lt u_{n+1}
Donc la suite (u_n) est croissante.
Par ailleurs, on sait que, pour tout entier naturel n, on a :
0 \leqslant u_n \leqslant 1
Donc la suite (u_n) est bornée entre 0 et 1, a fortiori majorée par 1.
Ainsi, la suite (u_n) est croissante et majorée.
D'après le théorème de la limite monotone, on en conclut que la suite (u_n) est convergente vers une limite l \in [0;1].
Oui, la suite (u_n) est convergente.
Quelle est la limite de la suite (u_n) ?
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}=f(u_n)
On sait que a fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;1].
Donc la fonction f est continue sur l'intervalle [0;1].
On sait également que la suite (u_n) converge vers une limite l \in [0;1].
D'après le théorème du point fixe, on en déduit que la limite l est solution de l'équation f (x) = x dans l'intervalle [0 ; 1].
D'après la question 1.a., cette équation admet deux solutions dans [0 ; 1] : 0 et \ln(2).
Or, la suite (u_n) est strictement croissante et u_0=0{,}1 \gt 0.
Donc pour tout entier naturel, on a u_n \gt u_0 \gt 0. Ainsi la limite de (u_n) ne peut pas être 0.
On en déduit que la limite l est égale à \ln(2).
La limite de la suite (u_n) est \ln(2).
Pour tout entier naturel n, de quel signe est \ln(2) - u_n ?
On sait que :
- La suite (u_n) est strictement croissante.
-
La suite (u_n) converge vers \ln(2).
Par conséquent, la suite (u_n) est majorée par \ln(2).
Autrement dit, pour tout entier naturel n, on a : u_n \leqslant \ln(2)
On en conclut que :
Pour tout entier naturel n, ln(2)-u_n \geqslant 0.
Pour tout entier naturel n, \ln(2) - u_n est de signe positif.
On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de \ln(2) par défaut à 10^{-4} près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.
Quel script permet de répondre au problème posé ?
Pour tout entier naturel n, \ln(2) - u_n est de signe positif.
Un terme de la suite (u_n ) sera donc toujours une valeur approchée par défaut de \ln(2).
On veut que la valeur approchée soit à 10^{-4} près.
Cela signifie que 0 \leqslant \ln(2) - u_n \leqslant 10^{-4}.
On va donc explorer les termes consécutifs de la suite (u_n ) tant que \ln(2)-u_n \gt 0{,}0001.
Ainsi, la boucle while s'interrompra dès que la différence \ln(2) - u_n sera inférieure ou égale à 10^{-4}=0{,}0001.
Le script qui permet de répondre au problème posé est :
Quelle est la valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil () ?
La valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil () est 11.