On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x)=2xe^{-x}.
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1].
Quelle est la limite de la suite (u_n) ?
Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}=f(u_n)
On sait que a fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;1].
Donc la fonction f est continue sur l'intervalle [0;1].
On sait également que la suite (u_n) converge vers une limite l \in [0;1].
D'après le théorème du point fixe, on en déduit que la limite l est solution de l'équation f (x) = x dans l'intervalle [0 ; 1].
D'après la question 1.a., cette équation admet deux solutions dans [0 ; 1] : 0 et \ln(2).
Or, la suite (u_n) est strictement croissante et u_0=0{,}1 \gt 0.
Donc pour tout entier naturel, on a u_n \gt u_0 \gt 0. Ainsi la limite de (u_n) ne peut pas être 0.
On en déduit que la limite l est égale à \ln(2).
La limite de la suite (u_n) est \ln(2).