Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale représentée en figure 1.
La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 2 cm (figure 2).
Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée C_f de la fonction f définie sur [-1 ; 1] par :
f (x) = (1 - x^2) e^x
L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
À l'aide d'une intégration par parties, comment l'intégrale \int_{-1}^{1} f(x) \ \mathrm dx peut-elle s'écrire ?
Le volume V de chocolat, en cm3, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par :
V = 3 \times S
où S est l'aire, en cm2, de la surface colorée (figure 2).
Quel est le volume V, arrondi à 0,1 cm3 près ?
Partie B
On s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.
Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0{,}01 ; +\infty[ par :
B (q) = 8q^2[2 - 3 \ln(q)] - 3
Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité q en centaines de bonbons.
On admet que la fonction B est dérivable sur [0{,}01 ; +\infty[. On note B' sa fonction dérivée.
Combien vaut \lim\limits_{x \to +\infty} B(q) ?
Pour tout q\geqslant 0{,}01, quelle est l'expression de B'(q) ?
Que peut-on dire du signe de B'(q) ?
Quel est le sens de variation de B sur [0{,}01;+\infty[ ?
Quel est le tableau de variations de la fonction B ?
Quel est le bénéfice maximal, à l'euro près, que peut espérer l'artisan ?
Combien de solutions l'équation B (q) = 10 admet-elle sur l'intervalle [1{,}2 ; +\infty[ ?
On note \beta la solution de l'équation B (q) = 10 sur l'intervalle [1{,}2 ; +\infty[.
Quelle est une valeur approchée de \beta à 10^{-3} près ?
On admet que l'équation B (q) = 10 admet une unique solution \alpha sur [0{,}01 ; 1{,}2[.
On donne \alpha \approx 0{,}757.
Quel est le nombre minimal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros ?
Quel est le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros ?