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  4. Exercice type bac : Amérique du Nord 2024, Etude d'une fonction

Amérique du Nord 2024, Etude d'une fonction Exercice type bac

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+\infty[ par :

f(x)=x \ln{(x^2)}- \dfrac{1}{x}

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative (C_f ) de la fonction f, ainsi que la droite (T ), tangente à la courbe (C_f ) au point A de coordonnées (1 ; -1).
Cette tangente passe également par le point B(0 ; -4).

-
a

Par lecture graphique, quelle valeur de f'(1) obtient-on ?

b

Quelle est l'équation réduite de la tangente (T) ?

c

Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe ?

d

Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle concave ?

e

Que semble représenter le point A pour la courbe (C_ f ) ?

Partie B : étude analytique

a

Quelle est la limite de f en +\infty ?

b

Quelle est la limite de f en 0 ?

c

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty[.

Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f'(x) ?

d

Pour x appartenant à l'intervalle ]0;+\infty[, quelle est l'expression de f''(x) ?

e

Que peut-on dire de la convexité de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?

f

Que peut-on dire des variations de la fonction f' sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?

g

Que peut-on dire des variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?

h

Combien de solutions l'équation f(x)=0 admet-elle sur l'intervalle ]0;+\infty[ ?

i

On note \alpha la solution de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle ]0;+\infty[.

Quelle est la valeur arrondie au centième de \alpha ?

j

Quelle égalité le nombre \alpha vérifie-t-il ?

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