On sait que, pour tout \(\displaystyle{x}\) appartenant à l'intervalle \(\displaystyle{]0;+\infty[}\), \(\displaystyle{f''(x)}\) s'exprime ainsi :

\(\displaystyle{\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{]0;+\infty[}\).

On sait que, pour tout \(\displaystyle{x \in ]0;+\infty[}\), on a :

Ainsi, sur l'intervalle \(\displaystyle{]0;+\infty[}\), \(\displaystyle{\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}\) est du signe de \(\displaystyle{x-1}\).

Or, \(\displaystyle{x-1}\) est négatif sur \(\displaystyle{]0;1]}\) et positif sur \(\displaystyle{[1;+\infty[}\).

On en déduit que la fonction \(\displaystyle{f''}\) est négative sur \(\displaystyle{]0;1]}\) et positive sur \(\displaystyle{[1;+\infty[}\).

Par conséquent :

la fonction \(\displaystyle{f}\) est concave sur \(\displaystyle{]0;1]}\) ;
la fonction \(\displaystyle{f}\) est convexe sur \(\displaystyle{[1;+\infty[}\).

Pour \(\displaystyle{x = 1}\), la fonction \(\displaystyle{f''}\) s'annule en changeant de signe.

Par conséquent, le point \(\displaystyle{A}\) est le point d'inflexion de \(\displaystyle{(C_f )}\).