Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
On considère la suite (u_n) définie ainsi :
Pour tout entier naturel non nul n, u_n=1+\dfrac{1}{n}.
D'une part, on a, pour tout n \in \mathbb{N}^* :
u_{n+1}-u_n\\=1+\dfrac{1}{n+1}-\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)\\=1+\dfrac{1}{n+1}-1-\dfrac{1}{n}\\=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\\= \dfrac{n}{n(n+1)}-\dfrac{n+1}{n(n+1)}\\=-\dfrac{1}{n(n+1)}
On observe que pour tout n \in \mathbb{N}^*, -\dfrac{1}{n(n+1)}\lt0.
Ainsi, pour tout n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1}-u_n \lt 0.
Autrement dit, pour tout n \in \mathbb{N}^*, u_{n+1} \lt u_n.
En conclusion, la suite (u_n) est strictement décroissante.
De plus, on a :
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, u_{n} \gt 0.
Ainsi, la suite (u_n) est strictement décroissante et minorée par 0.
Par ailleurs, on a :
\lim\limits_{n\to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1
En conclusion, la suite (u_n) est strictement décroissante et minorée par 0, mais elle converge vers 1.
On a trouvé une suite décroissante et minorée par 0 qui ne converge pas vers 0.
L'affirmation 1 est fausse.
On considère une suite (u_n ) définie sur \mathbb{N} telle que, pour tout entier n, on a :
u_n \leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}
Affirmation 2 : \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty.
Pour tout entier naturel n, on a :
\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}\\=- \left( \dfrac{1}{7^n} \right)\times 9^n\left( 1-\left( \dfrac{3}{9}\right)^n\right)\\=- \left( \dfrac{9}{7} \right)^n \left( 1-\left( \dfrac{1}{3}\right)^n\right)\\
D'une part, on a :
\dfrac{9}{7} \gt 1
Donc \lim\limits_{n \to +\infty}\left( \dfrac{9}{7} \right)^n=+\infty.
Et par conséquent :
\lim\limits_{n \to +\infty}-\left( \dfrac{9}{7} \right)^n=-\infty
D'autre part, on a :
-1 \lt \dfrac{1}{3} \lt 1
Donc \lim\limits_{n \to +\infty}\left( \dfrac{1}{3} \right)^n=0.
Et par conséquent :
\lim\limits_{n \to +\infty} 1-\left( \dfrac{1}{3} \right)^n=1
Finalement, par limite du produit, on obtient :
\lim\limits_{n \to +\infty} - \left( \dfrac{9}{7} \right)^n \left( 1-\left( \dfrac{1}{3}\right)^n\right)=-\infty
Autrement dit :
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}=-\infty
Or, par hypothèse, on a, pour tout entier n :
u_n \leqslant \dfrac{-9^n+3^n}{7^n}
Par comparaison, on en déduit que :
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty
L'affirmation 2 est vraie.
On considère la fonction suivante écrite en langage Python :
Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.
L'appel terme(4) exécute les étapes suivantes :
1) Initialisation de la variable U avec la valeur 1.
2) Exécution de la boucle for N fois, ici donc 4 fois.
Le compteur i qui va prendre les valeurs entières entre 0 et N-1, donc ici 0, 1, 2 et 3.
- La première exécution modifie U en U + 0, la valeur de U reste égale à 1.
- La deuxième exécution modifie U en U + 1, la valeur de U devient égale à 1 + 1 = 2.
- La troisième exécution modifie U en U + 2, la valeur de U devient égale à 2 + 2 = 4.
- La dernière exécution modifie U en U + 3, la valeur de U devient égale à 4 + 3 = 7.
En conclusion, l'appel terme(4) renvoie la valeur 7.
L'affirmation 3 est vraie.
Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
- Prix A : il reçoit 1 000 euros par jour pendant 15 jours ;
- Prix B : il reçoit 1 euro le 1er jour, 2 euros le 2e jour, 4 euros le 3e jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
On calcule le montant total du prix A :
1\ 000\times15=15\ 000
Le montant total du prix A est donc de 15 000 euros.
On calcule le montant total du prix B :
On additionne les 15 premiers termes d'une suite géométrique.
- Le premier terme de cette suite géométrique est égal au montant du prix de 1er jour, à savoir à 1 euro.
- La raison de cette suite géométrique est égale à 2 (car le montant double chaque jour).
On sait que la formule des n premiers termes d'une suite géométrique est :
U_1 + U_2 + U_3+...+U_n = U_1 (\dfrac{1-q^n}{1-q})
On effectue donc le calcul suivant :
1\times\dfrac{1-2^{15}}{1-2}
On obtient :
1\times\dfrac{1-2^{15}}{1-2}=\dfrac{1-2^{15}}{-1}=2^{15}-1=32\ 767
Le montant total du prix B est donc de 32 767 euros.
On observe que :
15\ 000 \lt 32\ 767
Par conséquent, la valeur du prix A est moins élevée que la valeur du prix B.
L'affirmation 4 est fausse.
On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier n \geqslant 1 par :
v_n=\int_{1}^{n} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx
Affirmation 5 : La suite (v_n ) est croissante.
On sait que :
- La fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}.
- ln(1) = 0
On en déduit que la fonction ln est à valeurs positives sur [1 ; +∞[.
Par ailleurs, pour tout n \in \mathbb{N}^*, on a :
v_{n+1}-v_n=\int_{1}^{n+1} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx-\int_{1}^{n} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx
On utilise la relation de Chasles et on obtient :
\int_{1}^{n} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{n}^{n+1} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx-\int_{n}^{n+1} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx
Ce qui donne finalement :
\int_{1}^{n+1} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx
Or, la fonction ln est continue et positive sur [n;n+1] pour tout n \in \mathbb{N}^*.
Par positivité de l'intégrale, on en déduit que :
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, \int_{1}^{n} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx \geqslant 0.
Autrement dit :
Pour tout n \in \mathbb{N}^*, v_{n+1}-v_n \geqslant 0.
En conclusion, la suite (v_n) est croissante.
L'affirmation 5 est vraie.