Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 400 &20\cr\cr3\ 600&60\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{800}&\dfrac{1}{2\ 400}\cr\cr \dfrac{3}{40}&-\dfrac{1}{120}\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 400 &20\cr\cr3 600&60\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{800}&\dfrac{1}{2 400}\cr\cr \dfrac{3}{40}&-\dfrac{1}{120}\end{pmatrix}
AB =\begin{pmatrix}400\times\left(-\dfrac{1}{800}\right)+20\times \dfrac{3}{40}&400\times\dfrac{1}{2 400}+20\times\left(-\dfrac{1}{120}\right)\cr\cr 3 600\times\left(-\dfrac{1}{800}\right)+60\times \dfrac{3}{40}&3 600\times\dfrac{1}{2\ 400}+60\times\left(-\dfrac{1}{120}\right)\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{800}&\dfrac{1}{2\ 400}\cr\cr \dfrac{3}{40}&-\dfrac{1}{120}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 400 &20\cr\cr3\ 600&60\end{pmatrix}
BA= \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{800}\times400+\dfrac{1}{2\ 400}\times3\ 600&-\dfrac{1}{800}\times20+\dfrac{1}{2 400}\times60\cr\cr \dfrac{3}{40}\times400-\dfrac{1}{120}\times 3\ 600& \dfrac{3}{40}\times20-\dfrac{1}{120}\times 60\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 4 &0 \cr\cr 1& -1\end{pmatrix} et B= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} &0 \cr\cr \dfrac{1}{4}& -1\end{pmatrix}
Les matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr\cr 0& 1\end{pmatrix} et B= \begin{pmatrix} 1 &-1 \cr\cr 0& 1\end{pmatrix}
Les matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 3&2 \cr\cr 2& 3\end{pmatrix} et B= \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 &-2 \cr\cr 2& 3\end{pmatrix}
Les matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 2&-4 \cr\cr -3& 1\end{pmatrix} et B= -\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 1 &4 \cr\cr 3& 2\end{pmatrix}
Les matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 2&-1 \cr\cr -3& 2\end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 2 &1 \cr\cr 3& 1\end{pmatrix}