On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr\cr 0 & 1 \end{pmatrix}
Calculer M^2.
Afin de calculer M^2, on effectue le produit matriciel de M par elle-même :
\begin{pmatrix} 1& 1\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& 1\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0& 1+1\cr\cr 0+0& 0+1\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^2 =\begin{pmatrix} 1& 2\cr\cr 0& 1\end{pmatrix}
Calculer M^3.
Afin de calculer M^3, on effectue le produit matriciel de M par M^2 :
\begin{pmatrix} 1& 1\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& 2\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0& 2+1\cr\cr 0+0& 0+1\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^3 = \begin{pmatrix} 1& 3\cr\cr 0& 1\end{pmatrix}
Calculer M^4.
Afin de calculer M^4, on effectue le produit matriciel de M par M^3 :
\begin{pmatrix} 1& 1\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& 3\cr\cr 0& 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0& 3+1\cr\cr 0+0& 0+1\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^4 = \begin{pmatrix} 1& 4\cr\cr 0& 1\end{pmatrix}