On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) = x^3+x
Quelle est la valeur de la dérivée seconde f'' de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction f.
Calcul de f'
f est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}. On commence par calculer sa dérivée f ' :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 3x^2 +1
Calcul de f''
f' est également une fonction polyn^ome dérivale sur \mathbb{R}. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 3\times2x
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 6x
Que peut-on dire de la convexité de f sur \mathbb{R} ?
On sait qu'une fonction f est :
- Convexe sur un intervalle I si et seulement si f '' est positive sur I.
- Concave sur un intervalle I si et seulement si f '' est négative sur I.
On doit donc étudier le signe de f''\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Ici, on a :
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) = 6x
On résout :
f''\left(x\right) \gt0
\Leftrightarrow 6x \gt0
\Leftrightarrow x \gt0
On en conclut que
- \forall x \gt 0, f''\left(x\right) \gt 0
- \forall x \lt 0, f''\left(x\right) \lt 0
La fonction f est concave sur \left] -\infty;0 \right] et convexe \left[0 ; +\infty \right[.