On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :
f\left(x\right) =\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{5}{6}x^3 +x^2 +3
Quelle est la valeur de la dérivée seconde f'' de f ?
On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction f.
Calcul de f'
f est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}. On commence par calculer sa dérivée f ' :
\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) =\dfrac{1}{4}\times 4 x^3+\dfrac{5}{6}\times 3x^2+2x
f'\left(x\right) =x^3+\dfrac{5}{2}x^2+2x
Calcul de f''
f' est également une fonction polynôme dérivale sur \mathbb{R}. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) =3x^2+\dfrac{5}{2}\times 2x+2
f''\left(x\right) =3x^2+5x+2
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) =3x^2+5x+2
Que peut-on dire de la convexité de f sur \mathbb{R} ?
On sait qu'une fonction f est :
- Convexe sur un intervalle I si et seulement si f '' est positive sur I.
- Concave sur un intervalle I si et seulement si f '' est négative sur I.
On doit donc étudier le signe de f''\left(x\right) sur \mathbb{R}.
Ici, on a :
\forall x\in \mathbb{R}, f''\left(x\right) =3x^2+5x+2
Or on sait qu'un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c est du signe de a sauf entre ses racines.
On détermine donc le discriminant \Delta de f'' :
\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\times3\times 2= 25-24 = 1
\Delta \gt 0 donc f'' admet deux racines distinctes :
- x_1 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-5-1}{6} = -1
- x_2 = \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-5+1}{6} = -\dfrac{2}{3}
On en conclut que :
-
f''\left(x\right) \gt 0 sur \left]-\infty ; -1 \right[ \cup\left]-\dfrac{2}{3} ;+\infty \right[
-
f''\left(x\right) \lt 0 sur \left] -1 ; -\dfrac{2}{3} \right[
La fonction f est concave sur \left] -1 ; -\dfrac{2}{3} \right[ et convexe \left]-\infty ; -1 \right[ \cup\left]-\dfrac{2}{3} ;+\infty \right[ .