On considère un triangle ABC quelconque et les points F et E vérifiant :
\overrightarrow{BF} =-\dfrac{7}{3} \overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} .
Représenter cette configuration sur une figure.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AE} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}
Or, on sait que :
\overrightarrow{BE} =\dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC}
On en déduit que :
\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AB}+ \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC}
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AF} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}
Or, on sait que :
\overrightarrow{BF} =-\dfrac{7}{3} \overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{AC}
Par conséquent :
\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} -\dfrac{7}{3} \overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AF} =-\dfrac{4}{3} \overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{AC}
Or, d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}
Donc :
\overrightarrow{AF} =-\dfrac{4}{3} \overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)
Finalement :
\overrightarrow{AF} =-2\overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{BC}
Montrer que les points A, E et F sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
- \overrightarrow{AE} =\overrightarrow{AB}+ \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC}
- \overrightarrow{AF} =-2\overrightarrow{AB}-\dfrac {2}{3} \overrightarrow{BC}
On en déduit que :
\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AE}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires et donc que les droites \left( AF \right) et \left( AE \right) sont parallèles.
Ces 2 droites possédant un point en commun, elles sont confondues.
On peut donc conclure :
Les points A, E et F sont alignés.