Montrer que deux vecteurs sont colinéairesMéthode

Méthode 1

Avec les coordonnées

On peut montrer que deux vecteurs sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées. La colinéarité de deux vecteurs permet de démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Soit un repère \left(O;I,J\right). On considère les points A\left(1;2\right) ; B\left(3;-1\right) et C\left(-3;8\right). Montrer que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Etape 1

Calculer les coordonnées de chaque vecteur

On calcule les coordonnées des deux vecteurs.

On détermine les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :

  • \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}, d'où \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \cr\cr -1-2 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \end{pmatrix}, d'où \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3-1 \cr\cr 8-2 \end{pmatrix}, donc \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 6 \end{pmatrix}
Etape 2

Appliquer la formule

On rappelle que deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.

On détermine si cette égalité est vérifiée.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.

Ici, on a :

2\times 6 - \left(-4\right)\times \left(-3\right) = 12-12 = 0

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Méthode 2

Avec une égalité vectorielle

On peut montrer que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires en démontrant que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.

Soit un triangle ABC et deux points D et E tels que \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DE}= 3\overrightarrow{BC}.

Montrer que \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}.

Afin de montrer que \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AE} sont colinéaires, on doit montrer qu'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AC}.

Etape 2

Exprimer \overrightarrow{u} en fonction de \overrightarrow{v}

On utilise les informations de l'énoncé afin d'obtenir une égalité de type \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}.

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles.

D'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD } + \overrightarrow{DE}

Or, d'après l'énoncé :

  • \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}
  • \overrightarrow{DE} = 3 \overrightarrow{BC}

Donc :

\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB } +3 \overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AE} = 3\left(\overrightarrow{AB }+ \overrightarrow{BC}\right)

Et, encore d'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}

Etape 3

Conclure

On conclut sur la colinéarité des deux vecteurs.

Les vecteurs \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AC} sont donc colinéaires.

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule