Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^{\star} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
On cherche à résoudre des équations du type f\left(x\right)=a pour un réel a donné.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=100
L'équation n'est pas définie pour x=0
Donc pour tout x\neq 0 :
f\left(x\right)=100 \Leftrightarrow \cfrac{1}{x}=100
f\left(x\right)=100 \Leftrightarrow \cfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=\cfrac{1}{100} (Par passage à l'inverse et en sachant que \cfrac{1}{x}\neq0 )
f\left(x\right)=100 \Leftrightarrow x=\cfrac{1}{100}
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ \cfrac{1}{100}\right\}.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=0
L'équation n'est pas définie pour x=0,
donc pour tout x\neq 0 :
f\left(x\right)=0 \Leftrightarrow \cfrac{1}{x}=0
Or, d'après le cours, on sait que la fonction inverse ne s'annule jamais sur \mathbb{R^*}.
En effet, la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole qui ne coupe jamais l'axe des abscisses.
L'équation \cfrac{1}{x}=0 n'a donc pas de solution.
L'ensemble des solutions de l'équation est l'ensemble vide. On a donc S=\varnothing.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=\dfrac{5}{3}
L'équation n'est pas définie pour x=0,
donc pour tout x\neq0 :
f\left(x\right)=\cfrac{5}{3} \Leftrightarrow \cfrac{1}{x}=\cfrac{5}{3}
f\left(x\right)=\cfrac{5}{3} \Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\dfrac{5}{3}} (Par passage à l'inverse et en sachant que \cfrac{1}{x}\neq0 )
f\left(x\right)=\cfrac{5}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ \cfrac{3}{5} \right\}.
Résoudre, dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}
L'équation n'est pas définie pour x=0,
donc pour tout x\neq0 :
f\left(x\right)=-\cfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cfrac{1}{x}=-\cfrac{1}{2}
f\left(x\right)=-\cfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=-\cfrac{1}{\dfrac{1}{2}} (Par passage à l'inverse et en sachant que \cfrac{1}{x}\neq0 )
f\left(x\right)=-\cfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=-2
L'ensemble des solutions de l'équation est S=\left\{ -2 \right\}.