Approcher une loi binomiale par une loi normaleMéthode

Si certaines conditions sont vérifiées, on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale. Ceci peut servir pour obtenir une approximation d'une probabilité de la forme p\left(c\leqslant X \leqslant d\right). En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0,2. Appliquer le théorème de Moivre-Laplace pour donner une approximation de p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right).

Etape 1

Vérifier que les conditions sont respectées

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n\geqslant 30
  • np\geqslant 5
  • n\left(1-p\right)\geqslant 5

Dans ce cas, on pourra appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0,2. On a donc :

  • n\geqslant 30
  • np=400\times 0,2=80 donc np\geqslant 5
  • n\left( 1-p \right)=400\times0,8=320 donc n\left(1-p\right)\geqslant 5

On peut donc appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

Etape 2

Calculer E\left(X\right) et \sigma\left(X\right)

X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On a donc :

  • E\left(X\right)=np
  • \sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}

On a :

  • E\left(X\right)=np=400\times0,2=80
  • \sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{400\times0,2\times0,8}=\sqrt{64}=8
Etape 3

Appliquer le théorème de Moivre-Laplace

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a\lt b, on a p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)=p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

On a donc :

p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)\approx p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a\lt b, on a p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{350-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-80}{8}\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant \dfrac{350-80}{8}\right)

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(1,25\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant 33,75\right)

On peut donc en déduire :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx p\left(1,25\leqslant Z \leqslant 33,75\right)

Etape 4

Calculer la probabilité

À l'aide de la calculatrice, on donne la valeur de p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right).

On obtient donc une approximation de p\left(c\leqslant X \leqslant d\right).

La calculatrice nous donne le résultat suivant :

p\left(1,25\leqslant Z \leqslant 33,75\right)\approx 0,11

On peut donc conclure :

p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx 0,11