Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotiqueMéthode

On dispose d'une population dans laquelle la fréquence d'apparition d'un caractère c est p. On prélève dans cette population un échantillon de taille n (la population est de taille suffisante pour considérer que les tirages sont indépendants). Le nombre de personnes de l'échantillon présentant le caractère c suit donc une loi binomiale de paramètres n et p.

D'après le théorème de Moivre-Laplace, on peut alors donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Une proportion p=46 % de la population d'un pays vote lors d'une élection pour le candidat A. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A sur un échantillon de 100 habitants.

Etape 1

Vérifier que les conditions sont vérifiées

On identifie n la taille de l'échantillon, et p la fréquence du caractère dans la population, puis on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n\geqslant 30
  • np\geqslant 5
  • n\left(1-p\right)\geqslant 5

On a ici n=100 et p=0{,}46. On a ainsi :

  • n\geqslant 30
  • np=46, donc np\geqslant5
  • n\left(1-p\right)=100\times0{,}54=54, donc n\left(1-p\right)\geqslant 5
Etape 2

Donner l'intervalle de fluctuation

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n est :

I=\left[p-1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

Plus généralement, si l'on cherche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \left(1-\alpha\right) %, on détermine grâce à la calculatrice la valeur \mu_{\alpha} vérifiant p\left(-\mu_{\alpha}\leqslant Z\leqslant\mu_{\alpha}\right)=1-\alpha, où Z suit une loi normale centrée réduite. L'intervalle I cherché est alors :

I=\left[p-\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A est :

I=\left[p-1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1{,}96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]

I=\left[0{,}46-1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}46\left(1-0{,}46\right)}}{\sqrt{100}};0{,}46+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}46\left(1-0{,}46\right)}}{\sqrt{100}}\right]

On obtient :

I=\left[0{,}362;0{,}558\right]

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