Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion Méthode

On émet une hypothèse sur la valeur de la proportion p d'apparition d'un caractère dans une population.

Pour valider ou rejeter cette hypothèse, on détermine un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence du caractère étudié dans des échantillons de la population de taille n.

Un institut de sondage annonce que 93% des candidats ont eu leur baccalauréat cette année. Pour valider cette hypothèse, on interroge 100 élèves après l'annonce des résultats et 82 déclarent avoir réussi l'examen.

Faut-il valider ou rejeter l'hypothèse de l'institut de sondage ?

Etape 1

Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

On détermine un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, I, de la fréquence f du caractère sur des échantillons de taille n, sous l'hypothèse faite sur p :

\(I=\left[p−1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right]\)

Pour cela, on vérifie d'abord que les conditions suivantes sont remplies :

  • \(\displaystyle{n\geqslant30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant5 }\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant5 }\)

On a ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{p=0,93}\).

Donc :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np=93}\) donc \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)=7}\) donc \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant5}\)

D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence f au seuil de 95% est :

\(I=\left[p−1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \right]\)

Comme ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(p=0,93\), on a :

\(I=\left[p−1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{100}} ; p+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{100}} \right]\)

\(I\approx [0,879;0,981]\) (borne inférieure arrondie par défaut et borne supérieure arrondie par excès)

Etape 2

Calculer la fréquence d'apparition sur l'échantillon

Grâce aux données de l'énoncé, on détermine la fréquence f d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n donné.

Sur 100 élèves interrogés, 82 ont eu leur baccalauréat. On a donc :

\(\displaystyle{f=\dfrac{82}{100}=0,82}\)

Etape 3

Conclure

  • Si f (calculé sur l'échantillon) appartient à l'intervalle I, on valide l'hypothèse au seuil de 95%.
  • Sinon, on rejette l'hypothèse au seuil de 95%.

La fréquence calculée (\(f=0,82\)) n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique trouvé.

On rejette donc, au seuil de 95%, l'hypothèse avancée par l'institut de sondage.