On considère un entier n, compris entre 20 et 40, tel que :
- le reste de la division euclidienne de n par 6 vaut 5 ;
- le reste de la division euclidienne de n par 8 vaut 5.
Quelle proposition démontre que n - 5 est multiple de 6 et de 8 ?
On sait que le reste de la division euclidienne de n par 6 vaut 5. Il existe donc un entier q non nul tel que :
n=6q+5
Cela donne : n-5=6q.
Cela signifie que n - 5 est multiple de 6.
De même, on sait que le reste de la division euclidienne de n par 8 vaut 5. Il existe donc un entier t non nul tel que :
n=8t+5
Cela donne : n-5=8t.
Cela signifie que n - 5 est multiple de 8.
On peut donc dire que n - 5 est multiple de 6 et de 8.
Quels sont les multiples communs à 6 et 8 compris entre 15 et 35 ?
Les multiples de 6 compris entre 15 et 35 sont : 18 ; 24 et 30.
Les multiples de 8 compris entre 15 et 35 sont : 16 ; 24 et 32.
On en déduit que le seul multiple commun à 6 et à 8 situé entre 15 et 35 est 24.
Quelle est la valeur de n ?
Sachant que n est situé entre 20 et 40, on en déduit que n - 5 est compris entre 15 et 35.
On sait donc que n - 5 est :
- Compris entre 15 et 35 ;
- Multiple de 6 et de 8.
Le seul multiple commun à 6 et 8 situé entre 15 et 35 est 24, on en déduit que :
n-5=24
On peut donc conclure que n = 29.