On considère un entier n, compris entre 75 et 100, tel que :
- le reste de la division euclidienne de n par 4 vaut 2 ;
- le reste de la division euclidienne de n par 5 vaut 2.
Quelle proposition démontre que n - 2 est multiple de 4 et de 5 ?
On sait que le reste de la division euclidienne de n par 4 vaut 2. Il existe donc un entier q non nul tel que :
n=4q+2
Cela donne : n-2=4q.
Cela signifie que n - 2 est multiple de 4.
De même, on sait que le reste de la division euclidienne de n par 5 vaut 2. Il existe donc un entier t non nul tel que :
n=5t+2
Cela donne : n-2=5t.
Cela signifie que n - 2 est multiple de 5.
On peut donc dire que n - 2 est multiple de 4 et de 5.
Quels sont les multiples communs à 4 et 5 compris entre 73 et 98 ?
Les multiples de 4 compris entre 73 et 98 sont : 76 ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 et 96.
Les multiples de 5 compris entre 73 et 98 sont : 75 ; 80 ; 85 ; 90 et 95.
On en déduit que le seul multiple commun à 4 et 5 situé entre 73 et 98 est 80.
Quelle est la valeur de n ?
Sachant que n est situé entre 75 et 100, on en déduit que n - 2 est compris entre 73 et 98.
On sait donc que n - 2 est :
- Compris entre 73 et 98 ;
- Multiple de 4 et de 5.
Le seul multiple commun à 4 et 5 situé entre 73 et 98 est 80, on en déduit que :
n-2=80
On peut donc conclure que n = 82.