On propose la figure suivante :
Quel est le symétrique de ABCD par rapport à O ?
On construit A' symétrique de A par rapport à O : pour cela, on place le point A' sur la droite \left( OA \right) tel que O soit le milieu du segment \left[ AA' \right].
De la même façon, on construit les points B', C' et D' symétriques respectifs des points B, C, et D par rapport à O.
On obtient le symétrique A'B'C'D' de ABCD par rapport à O.
Quel est le symétrique de A'B'C'D' par rapport à O' ?
On construit A" symétrique de A' par rapport à O' : pour cela, on place le point A" sur la droite \left( O'A' \right) tel que O' soit le milieu du segment \left[ A'A" \right].
De la même façon, on construit les points B", C" et D" symétriques respectifs des points B', C' et D' par rapport à O'.
On obtient le symétrique A"B"C"D" de A'B'C'D' par rapport à O'.
Quelle comparaison peut-on faire des longueurs et des angles des figures ABCD et A"B"C"D" ?
On sait qu'une figure et son symétrique par rapport à un point sont superposables.
Ces deux figures ont la même forme : elles ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d'angles, les mêmes aires...
Donc ABCD et A'B'C'D' ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles puisqu'elles sont symétriques par rapport à O.
De la même façon, A"B"C"D" et A'B'C'D' ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles.
Les figures ABCD et A"B"C"D" ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles.