On propose la figure suivante :
Quel est le symétrique du triangle ABC par rapport à O ?
On construit A' symétrique de A par rapport à O : pour cela, on place le point A' sur la droite \left( OA \right) tel que O soit le milieu du segment \left[ AA' \right].
De la même façon, on construit les points B' et C' symétriques respectifs des points B et C par rapport à O.
On obtient le symétrique A'B'C' de ABC par rapport à O.
Quel est le symétrique de A'B'C' par rapport à O' ?
On construit A" symétrique de A' par rapport à O' : pour cela, on place le point A" sur la droite \left( O'A' \right) tel que O' soit le milieu du segment \left[ A'A" \right].
De la même façon, on construit les points B" et C" symétriques respectifs des points B' et C' par rapport à O'.
On obtient le symétrique A"B"C" de A'B'C' par rapport à O'.
Quelle comparaison peut-on faire des longueurs et des angles des triangles ABC et A"B"C" ?
On sait qu'une figure et son symétrique par rapport à un point sont superposables.
Ces deux figures ont la même forme : elles ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d'angles, les mêmes aires...
Donc ABC et A'B'C' ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles puisqu'elles sont symétriques par rapport à O.
De la même façon, A"B"C" et A'B'C' ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles.
Les triangles ABC et A"B"C" ont les mêmes longueurs et les mêmes mesures d'angles.