Les applications de l'effet Doppler Exercice type bac

D'après la figure n°4, le radar reçoit le signal réfléchi dans la direction 2 avec un retard de \displaystyle{\tau_R=5{,}0} μs sur le signal émis.

Pendant ce temps, l'onde électromagnétique émise par le radar a parcouru deux fois la distance d séparant le radar de la zone de précipitations à la vitesse de la lumière c.

Or, la relation liant la vitesse à la distance et à l'intervalle de temps est :

\displaystyle{c = \dfrac{2 \times d}{\tau_R}}

Donc, l'expression de la distance est :

\displaystyle{d=\dfrac{c \times \tau_R}{2}}

D'où :

\displaystyle{d=\dfrac{3{,}0\times 10^8 \times 5{,}0 \times 10^{-6}}{2}}

Donc :

\displaystyle{d=7{,}5\times10^2} m

D'après la figure n°3, on remarque que la zone de précipitations dans la direction 1 est moins épaisse, plus proche et possède à peu près la même intensité que dans la direction 2.

On en déduit que le signal reçu :

• Est moins long.
• A moins de retard, c'est-à-dire que son retard \displaystyle{\tau_{R_1}} est plus court que le retard \displaystyle{\tau_{R}} dans la direction 2.
• A la même amplitude.

D'après l'énoncé, la réflectivité maximale mesurée vaut :

\displaystyle{Z=10^5 \times Z_0}

Or :

\displaystyle{R_{dBz}=10log\dfrac{Z}{Z_0}}

Donc, ici :

\displaystyle{R_{dBz}=10log\dfrac{10^5\times Z_0}{Z_0}}

Soit :

\displaystyle{R_{dBz}=10log10^5}

C'est-à-dire :

\displaystyle{R_{dBz}=50} dB

Or, en utilisant l'échelle donnée dans l'énoncé, on peut lire qu'une réflectivité en dB de 50 dB correspond à une intensité de précipitations de 50 mm.h^-1.

D'après l'énoncé, la formule liant le diamètre d'un grêlon à sa vitesse est :

\displaystyle{v = \sqrt{k \times \dfrac{d}{2}}}

D'où l'expression du diamètre :

\displaystyle{d = 2 \times \dfrac{v^2}{k}}

Ici :

• k=3,8×104k=3,8×104 m.s^-1
• v est inconnu.

Il faut donc trouver v par un autre moyen. La formule donnant le décalage Doppler en fonction de f_émise, de v et de c est :

\displaystyle{\Delta f= \dfrac{2 \times v \times cos{\theta} }{c} \times f_{émise}}

On a donc l'expression de la vitesse :

\displaystyle{v= \dfrac{\Delta f \times c }{\cos{\theta} \times 2 \times f_{émise} } }

Ici :

• \displaystyle{\Delta f = +200} Hz
• \displaystyle{c=3{,}0\times 10^8} m.s^-1
• \displaystyle{\theta=60°} °, donc \displaystyle{\cos{\theta}=\dfrac{1}{2}}
• \displaystyle{f_{émise}=3{,}0\times10^9} Hz

On peut alors exprimer le diamètre en fonction de grandeurs connues :

\displaystyle{d = 2 \times \dfrac{\left( \dfrac{\Delta f \times c }{\cos{\theta} \times 2 \times f_{émise} } \right) ^2}{k}}

Ou, plus simplement :

\displaystyle{d = \left(\dfrac{ \Delta f \times c }{\cos{\theta} \times f_{émise}} \right)^2 \dfrac{ 1 }{ 2 \times k }}

On obtient donc :

\displaystyle{d =\left(\dfrac{ 200 \times 3{,}0\times 10^8 }{0{,}5 \times 3{,}0\times 10^9 } \right)^2 \dfrac{ 1 }{2\times 3{,}8\times10^4 }}

Donc :

\displaystyle{d =2{,}1\times 10^{-2}} m.