De l'effet Doppler à ses applications
Christian Doppler, savant autrichien, propose en 1842 une explication de la modification de la fréquence du son perçu par un observateur immobile lorsque la source sonore est en mouvement. Buys-Ballot, scientifique hollandais, vérifie expérimentalement la théorie de Doppler en 1845, en enregistrant le décalage en fréquence d'un son provenant d'un train en mouvement et perçu par un observateur immobile.
On se propose de présenter l'effet Doppler puis de l'illustrer au travers de deux applications.
Nous nous intéressons dans un premier temps au changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une source sonore S et d'un détecteur placé au point M (figure 1). Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre dans lequel le détecteur est immobile. Une source S émet des "bips" sonores à intervalles de temps réguliers dont la période d'émission est notée T0. Le signal sonore se propage à la célérité vson par rapport au référentiel terrestre.
Figure 1. Schéma représentant une source sonore immobile (cas A), puis en mouvement (cas B)
Cas A : la source S est immobile en x=0 et le détecteur M, situé à la distance d, perçoit chaque bip sonore avec un retard lié à la durée de propagation du signal.
Définir par une phrase, en utilisant l'expression "bips sonores", la fréquence f0 de ce signal périodique.
La fréquence f0de ce signal périodique est le nombre de "bips sonores" émis en une seconde par la source S, elle s'exprime en Hertz (Hz).
Comparer la période temporelle T des bips sonores perçus par le détecteur à la période d'émission T0.
La source et le détecteur n'ont pas de mouvement relatif l'un par rapport à l'autre, donc l'effet Doppler n'a pas lieu, les "bips sonores" sont reçus avec du retard, mais sont donc espacés du même intervalle de temps. La période de réception est ainsi la même que la période d'émission.
Les périodes sont les mêmes : \displaystyle{T=T_0}.
Cas B : la source S, initialement en x = 0, se déplace à une vitesse constante vs suivant l'axe Ox en direction du détecteur immobile. La vitesse vs est inférieure à la célérité vson. On suppose que la source reste à gauche du détecteur.
Le détecteur perçoit alors les différents bips séparés d'une durée T' = T_0\left(1-\dfrac{v_s}{v_{son}}\right).
Indiquer si la fréquence f' des bips perçus par le détecteur est inférieure ou supérieure à la fréquence f0 avec laquelle les bips sont émis par la source S. Justifier.
On sait que, pour le signal émis :
f_0=\dfrac{1}{T_0}
De même que, pour le signal reçu :
f'=\dfrac{1}{T'}
Or, on connaît le lien entre T' et T0:
T'=T_0 \left(1-\dfrac{v_s}{v_{son}} \right)
On en déduit que :
f'=\dfrac{1}{T_0 \left(1-\dfrac{v_s}{v_{son}} \right)}
Soit :
f'=\dfrac{f_0}{ 1-\dfrac{v_s}{v_{son}}}
Or, l'énoncé donne :
v_s \lt v_{son}
Donc :
\dfrac{v_s}{v_{son}} \lt 1
D'où :
1-\dfrac{v_s}{v_{son}} \lt 1
On en déduit que :
\dfrac{1}{1-\dfrac{v_s}{v_{son}}} \gt 1
Donc :
f' \gt f_0
La fréquence f' reçue par le détecteur est supérieure à la fréquence f0 d'émission.
La médecine fait appel à l'effet Doppler pour mesurer la vitesse d'écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins (figure 2).
Un émetteur produit des ondes ultrasonores qui traversent la paroi d'un vaisseau sanguin. Pour simplifier, on suppose que lorsque le faisceau ultrasonore traverse des tissus biologiques, il rencontre :
- des cibles fixes sur lesquelles il se réfléchit sans modification de la fréquence.
- des cibles mobiles, comme les globules rouges du sang, sur lesquelles il se réfléchit avec une modification de la fréquence ultrasonore par effet Doppler (figure 3).
Figure 2. Vitesse moyenne du sang dans différents vaisseaux sanguins.
2011 Pearson
Figure 3. Principe de la mesure d'une vitesse d'écoulement sanguin par effet Doppler (échelle non-respectée)
L'onde ultrasonore émise, de fréquence f_E = 10 MHz, se réfléchit sur les globules rouges qui sont animés d'une vitesse v. L'onde réfléchie est ensuite détectée par le récepteur.
La vitesse v des globules rouges dans le vaisseau sanguin est donnée par la relation v = \dfrac{v_{ultrason}}{2\cos\left(\theta\right)}.\dfrac{\Delta f}{f_E} où \Delta f est le décalage en fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie, vultrason la célérité des ultrasons dans le sang et \theta l'angle défini sur la figure 3.
On donne v_{ultrason} = 1{,}57 \times 10^3 m.s-1 et \theta = 45 °.
Le décalage en fréquence mesuré par le récepteur est de 1,5 kHz. Identifier les types de vaisseaux sanguins dont il pourrait s'agir.
La formule donnée dans l'énoncé liant la vitesse des globules rouges au décalage en fréquence est :
\displaystyle{v = \dfrac{v_{ultrason}}{2\cos\theta}.\dfrac{\Delta f}{f_E}}
Ici :
- \displaystyle{\Delta f=1{,}5} kHz
- \displaystyle{f_E=10} MHz
- \displaystyle{\theta=45°} soit \displaystyle{\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}}
- \displaystyle{v_{ultrason}=1{,}57\times 10^3} m.s-1
On peut alors calculer la valeur de la vitesse des globules rouges correspondant à ce décalage en fréquence :
\displaystyle{v = \dfrac{1{,}57\times10^3}{2\times\dfrac{\sqrt2}{2}}.\dfrac{1{,}5\times10^3}{10\times10^6}}
Ce qui donne :
\displaystyle{v=1{,}7 \times10^{-1}} m.s-1
Soit :
\displaystyle{v=17} cm.s-1
En utilisant la figure n°2, on peut lire que les vaisseaux sanguins dans lesquels les globules rouges ont cette vitesse sont les artérioles et les veines.
Il pourrait s'agir d'artérioles ou de veines.
Pour les mêmes vaisseaux sanguins et dans les mêmes conditions de mesure, on augmente la fréquence des ultrasons émis fE. Indiquer comment évolue le décalage en fréquence \Delta f. Justifier.
D'après la formule utilisée plus haut qui lie la vitesse des globules rouges au décalage en fréquence et à la fréquence émise, on peut trouver un lien entre ces deux dernières grandeurs :
\displaystyle{\Delta f =\dfrac{v\times f_E\times2\cos\theta}{v_{ultrason}}}
Si on ne change pas de vaisseau sanguin et qu'on ne modifie pas les conditions de mesure, alors v, vultrason et \theta restent constants, quelle que soit la modification qui est faite de fE.
\Delta f est ainsi proportionnel à fE, on peut donc affirmer que si on augmente fE, alors \Delta f augmente également.
Si on augmente la fréquence des ultrasons, alors le décalage en fréquence augmente également.
On s'intéresse à un son émis par un hélicoptère et perçu par un observateur immobile. La valeur de la fréquence de l'onde sonore émise par l'hélicoptère est f_0 = 8{,}1 \times 10^2 Hz. On se place dans le référentiel terrestre pour toute la suite de cette partie.
Les portions de cercles des figures 4 et 5 ci-dessous donnent les maxima d'amplitude de l'onde sonore à un instant donné. Le point A schématise l'hélicoptère. Dans le cas de la figure 4, l'hélicoptère est immobile. Dans le cas de la figure 5, il se déplace à vitesse constante le long de l'axe et vers l'observateur placé au point O. La célérité du son dans l'air est indépendante de sa fréquence.
Figure 4. L'hélicoptère est immobile.
Figure 5. L'hélicoptère est en mouvement.
Déterminer, avec un maximum de précision, la longueur d'onde \displaystyle{\lambda_0} de l'onde sonore perçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est immobile, puis la longueur d'onde \displaystyle{\lambda'} lorsque l'hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme.
On mesure, sur les figures n°4 et 5, que 1 m équivaut à 1,2 cm.
La longueur d'onde est la longueur de l'écart entre deux maxima d'amplitude. Pour mesurer plus précisément la longueur d'onde, il faut mesurer la longueur du nombre maximal de longueurs d'onde et diviser par le nombre de longueurs d'onde. Ainsi, on diminue l'erreur sur la mesure de la longueur d'onde.
Sur la figure n°4, on mesure la longueur correspondant à 5 longueurs d'onde :
\displaystyle{5\times \lambda_{0 dessin}=2{,}6} cm
On obtient alors :
\displaystyle{\lambda_{0dessin}=0{,}52} cm
En utilisant l'échelle qu'on a mesurée, on peut en déduire la véritable valeur de la longueur d'onde :
\displaystyle{\lambda_{0}=\dfrac{0{,}52\times 1{,}0}{1{,}2}}
Soit :
\displaystyle{\lambda_0=0{,}43} m
Sur la figure n°5, on mesure la longueur correspondant à 5 longueurs d'onde :
\displaystyle{5\times \lambda'_{ dessin}=2{,}1} cm
On obtient alors :
\displaystyle{\lambda'_{dessin}=0{,}42} cm
En utilisant l'échelle qu'on a mesurée, on peut en déduire la véritable valeur de la longueur d'onde :
\displaystyle{\lambda'=\dfrac{0{,}42\times 1{,}0}{1{,}2}}
Soit :
\displaystyle{\lambda'=0{,}35} m
Lorsque l'hélicoptère est immobile, la longueur d'onde vaut \displaystyle{\lambda_0=0{,}43} m.
Lorsque l'hélicoptère se déplace en translation rectiligne uniforme vers le détecteur, la longueur d'onde vaut \displaystyle{\lambda'=0{,}35} m.
En déduire une estimation de la valeur de la célérité de l'onde sonore. Commenter la valeur obtenue.
On sait que :
\displaystyle{\lambda_0=\dfrac{c_{son}}{f_0}}
Avec cson a célérité du son.
On peut donc obtenir la valeur de la célérité du son en fonction de la longueur d'onde et de la fréquence :
\displaystyle{c_{son}=\lambda_0\times f_0}
Ici :
\displaystyle{\lambda_0=0{,}43} m
\displaystyle{f_0=8{,}1\times10^2} Hz
On en déduit que :
\displaystyle{c_{son}=0{,}43 \times 8{,}1 \times 10^2}
Soit :
\displaystyle{c_{son}=3{,}5\times 10^2} m.s-1
La valeur obtenue est supérieure à la valeur attendue de 343 m.s-1.
La célérité de l'onde sonore vaut \displaystyle{c_{son}=3{,}5\times 10^2} m.s-1, cette valeur est un peu plus élevée que la valeur tabulée qui vaut 343 m.s-1 à température ambiante. L'erreur peut venir d'une faute sur la mesure de \lambda_0 ou de la variation de la célérité du son dans l'air avec la température, à 30°C la valeur de c avoisine les 350 m.s-1.
Déterminer la fréquence du son perçu par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement. Cette valeur est-elle en accord avec le résultat de la question I.2. ? Comment la perception du son est-elle modifiée ?
On sait que :
\displaystyle{f'=\dfrac{c_{son}}{\lambda'}}
Ici :
- \displaystyle{c_{son}=3{,}5\times10^2} m.s-1
- \displaystyle{\lambda'=0{,}35} cm.
On en déduit que :
\displaystyle{f'=\dfrac{3{,}5\times10^2}{0{,}35 \times10^{-2}}}
D'où :
\displaystyle{f'=1{,}0\times10^5} Hz
Soit :
\displaystyle{f'=100} kHz
Or :
\displaystyle{f_0=8{,}1 \times 10^2} Hz
Donc :
\displaystyle{f' \gt f_0}
Lorsque l'hélicoptère est en mouvement, la fréquence du son entendu par l'auditeur est donc plus élevée que lorsqu'il est immobile, conformément au résultat de la question 1.2. Le son perçu est donc plus aigu.
La fréquence f' du son perçu par l'observateur vaut 100 kHz, donc le son perçu est plus aigu, c'est en accord avec la question n°1.2.
En déduire la valeur de la vitesse de l'hélicoptère. Cette valeur paraît-elle réaliste ?
On réutilise la formule liant la période à la vitesse de la source :
\displaystyle{T' = T_0\left(1-\dfrac{v_s}{v_{son}} \right)}
D'où :
\displaystyle{f' = \dfrac{f_0}{\left(1-\dfrac{v_s}{v_{son}}\right)}}
On en déduit donc que :
\displaystyle{1-\dfrac{v_s}{v_{son}} = \dfrac{f_0}{f'}}
D'où :
\displaystyle{v_s=v_{son} \left( 1-\dfrac{f_0}{f'} \right)}
Ici :
- \displaystyle{v_{son} = 3{,}489\times 10^2} m.s-1
- \displaystyle{f_0 = 8{,}1 \times 10^2} Hz
- \displaystyle{f'=9{,}514 \times 10^2} Hz
On a alors :
\displaystyle{v_s = 3{,}483\times 10^2 \times \left( 1 - \dfrac{8{,}1\times 10^2}{9{,}514\times 10^2} \right)}
Donc :
\displaystyle{v_s=65} m.s-1
Pour vérifier si cette valeur est réaliste, on peut la convertir en km.h-1 :
\displaystyle{v_s=2{,}3 \times 10^2} km.h-1
Cette valeur paraît réaliste pour un hélicoptère.
L'hélicoptère a une vitesse de \displaystyle{2{,}3 \times 10^2} km.h-1, ce qui paraît être une valeur réaliste pour un hélicoptère.