La tomographie par émission de positrons est une technique d'imagerie médicale utilisée pour l'étude du fonctionnement du cerveau.
De l'eau radioactive, contenant de l'oxygène 15 est injecté au sujet d'étude par intraveineuse. L'oxygène 15 est un élément radioactif subissant une désintégration \beta^+ (l'un des huit protons se transmute en neutron), jouant le rôle de radio-traceur.
Lorsqu'une région du cerveau est sollicitée, l'augmentation locale du débit sanguin cérébral implique une accumulation du radio-traceur qui est alors détecté par les caméras.
Donnée : Le temps de demi-vie de l'oxygène 15 est t_{1/2}=122\text{ s}.
Quelle est l'écriture conventionnelle \ce{^{A}_{Z}X} de l'oxygène 15 ?
Dans l'écriture conventionnelle \ce{^{A}_{Z}X}, on a :
- \ce{Z} le nombre de protons ;
- \ce{A} le nombre de nucléons (protons + neutrons) ;
- \ce{X} le symbole de l'élément.
D'après l'énoncé, l'atome d'oxygène 15 est composé de 15 nucléons et de 8 protons.
Son écriture conventionnelle est donc \ce{^{15}_{8}O}.
L'écriture conventionnelle de l'oxygène 15 est \ce{^{15}_{8}O}.
Quelle est l'équation de désintégration de l'oxygène 15 ?
Lors d'une désintégration \beta^+, un positon \ce{^{A}_{Z}X} \longrightarrow \ce{^{A}_{Z-1}Y}^* + \ce{^{0}_{1}e} est émis. L'équation générale de la désintégration \beta^+ d'un noyau père \ce{^{A}_{Z}X} est donc de ce type :
\ce{^{A}_{Z}X} \longrightarrow \ce{^{A}_{Z-1}Y}^* + \ce{^{0}_{1}e}
Ici, on a donc :
\ce{^{15}_{8}O} \longrightarrow \ce{^{15}_{7}N}^* + \ce{^{0}_{1}e}
L'équation de désintégration est :
\ce{^{15}_{8}O} \longrightarrow \ce{^{15}_{7}N}^* + \ce{^{0}_{1}e}
Quelle est, d'après son temps de demi-vie, la constante radioactive \lambda de l'oxygène 15 ?
Le temps de demi-vie t_{1/2} et la constante radioactive \lambda d'un radionucléide sont liés par la relation suivante :
t_{1/2 \text{ (s)}} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda_{\text{ (s}^{-1})}}
D'où la relation :
\lambda = \dfrac{\ln(2)}{t_{1/2}}
D'où l'application numérique :
\lambda = \dfrac{\ln(2)}{122}
\lambda = 5{,}68.10^{-3} \text{ s}^{-1}
La constante radioactive est de 5{,}68.10^{-3} \text{ s}^{-1}.
Quelle est l'activité radioactive d'un échantillon contenant 5{,}55.10^3 noyaux d'oxygène 15 ?
L'activité radioactive d'un échantillon est proportionnelle au nombre de radionucléides qu'il contient :
A_{\text{(Bq)}} = \lambda_{\text{(s}^{-1})} \times N
D'où l'application numérique :
A=5{,}68.10^{-3} \times 5{,}55.10^3
A=31{,}5\text{ Bq}
L'activité radioactive est de 31,5 Bq.
Quelle est l'activité radioactive de ce même échantillon après 610 s ?
On peut remarquer que la durée de 610 s correspond à cinq demi-vies de l'oxygène 15 :
5 \times t_{1/2}=5 \times 122 = 610\text{ s}
On a donc la relation :
A=\dfrac{A_0}{2^5}
D'où l'application numérique :
A=\dfrac{31{,}5}{2^5}
A=9{,}84.10^{-1}\text{ Bq}
L'activité radioactive est de 9{,}84.10^{-1}\text{ Bq}.