La modélisation temporelle d’un système nucléaireCours

I

Le phénomène de radioactivité

Le phénomène de radioactivité décrit comment certains isotopes d'éléments chimiques instables se désintègrent spontanément. Le bilan de ces désintégrations est toujours le même : formation d'un nouveau noyau, plus stable, et émission d'une particule et de rayonnement gamma \bf \gamma. En fonction de la nature de la particule émise, on distingue trois types de désintégrations radioactives. L'activité radioactive, en becquerels, est égale au nombre de désintégrations par seconde.

A

Les isotopes instables

Du fait de leur composition, certains noyaux sont instables et finissent tôt ou tard par se désintégrer. Le diagramme (\bf N, \bf Z) permet de repérer pour un élément donné les isotopes radioactifs.

Radioactivité

La radioactivité est le phénomène associé à la désintégration spontanée des noyaux instables.

L'atome d'uranium 238 (_{92}^{238}U) est instable. Il se désintègre spontanément. C'est un élément radioactif.

Radionucléide 

Un radionucléide est un noyau instable susceptible de se désintégrer, il est radioactif.

L'atome d'uranium 238 est instable. Son noyau est un radionucléide.

Parmi les trois-cent-cinquante noyaux naturels, soixante sont instables. Ces soixante noyaux instables sont des éléments radioactifs naturels.

Parmi les isotopes possibles d'un élément, seuls certains sont stables. Les autres, instables, se désintègrent spontanément : ils sont radioactifs. Le diagramme (N, Z) représente le nombre de neutrons N en fonction du nombre de protons Z. Le diagramme (N, Z) permet de visualiser les isotopes stables et instables. On appelle « vallée de la stabilité » l'ensemble des noyaux stables. Le type de désintégration que subissent les noyaux instables dépend de leur position par rapport à la vallée de la stabilité.

isotopes instables

diagramme (N, Z)

Le diagramme (N, Z) met en évidence que :

  • Pour Z \lt 20, les noyaux stables sont ceux qui comportent autant de neutrons que de protons (N = Z).
  • Pour Z \gt 20, les noyaux stables comportent plus de neutrons que de protons (les points de la courbe rouge sont ceux qui vérifient N \gt Z).
B

Les désintégrations radioactives

À partir d'une réaction nucléaire, il est possible d'établir un bilan des désintégrations radioactives. Il existe trois types de désintégrations : \bf\alpha, \bf\beta^+ et \bf\beta^-.

1

Le bilan des désintégrations radioactives

Le bilan de toutes les désintégrations est le même : la formation d'un nouveau noyau plus stable et l'émission d'une particule et de rayonnement gamma \bf \gamma.

Désintégration radioactive

La désintégration radioactive est une réaction nucléaire spontanée au cours de laquelle un noyau radioactif donne naissance à un noyau plus stable.

L'atome d'uranium 238 (_{92}^{238}U) est instable. Il se désintègre spontanément en thorium 234 (_{90}^{234}Th) et en hélium 4 (_{2}^{4}He) qui sont des noyaux plus stables. Notons que le nombre atomique et que le nombre de masse se conservent lors de la désintégration.

La radioactivité est un phénomène :

  • spontané : la radioactivité se déclenche sans intervention extérieure ;
  • aléatoire : on ne peut pas prévoir l'instant de la désintégration ;
  • inéluctable : un noyau instable se désintègrera tôt ou tard ;
  • indépendant de la pression et de la température.
     

Un seul atome d'uranium 238 (_{92}^{238}U) peut se désintégrer naturellement au bout de quelques secondes ou après quatre milliard d'années. Sa désintégration est aléatoire mais inéluctable.

La désintégration radioactive du noyau instable, appelé noyau père et noté _{Z}^{A}X, s'accompagne de l'émission :

  • d'un noyau fils, noté _{Z'}^{A'}Y. Généralement, le noyau fils est obtenu dans un état excité et il est noté _{Z'}^{A'}Y^*.
  • d'une particule, notée _{Z''}^{A''}P.
  • d'un rayonnement électromagnétique \gamma (gamma), émis lors de la désexcitation du noyau fils.

 

Le bilan de la désintégration peut s'écrire :

\bf _{Z}^{A}X \ce{->} _{Z'}^{A'}Y + _{Z''}^{A''}P + \gamma

schéma désintégration radioactive
Schéma général d'une désintégration radioactive

Le bilan de la désintégration de l'uranium 238 est donné par la réaction nucléaire suivante :
_{92}^{238}U \ce{->} _{90}^{234}Th + _{2}^{4}He + \gamma

Dans cette réaction :

  • _{90}^{234}Th est le noyau fils ;
  • _{2}^{4}He est la particule ;
  • \gamma est le rayonnement électromagnétique émis.

Sachant qu'en se désexcitant le noyau fils émet un rayonnement \gamma, le bilan d'une désintégration peut également s'écrire en indiquant que le noyau fils est formé dans un état excité :

_{Z}^{A}X \ce{->} _{Z'}^{A'}Y^* + _{Z''}^{A''}P

Le bilan de la désintégration de l'uranium 238 est donné par la réaction nucléaire suivante :
_{92}^{238}U \ce{->} _{90}^{234'}Th^* + _{2}^{4}He

_{90}^{234'}Th^* \ce{->} _{90}^{234'}Th + \gamma est la réaction d'émission de \gamma.

Lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge (loi de Soddy)

Lors d'une désintégration nucléaire, il y a conservation du nombre de charge Z et du nombre de masse (de nucléons) A.

Soit la réaction nucléaire d'une désintégration suivante :

\bf _{Z}^{A}X \ce{->} _{Z'}^{A'}Y^* + _{Z''}^{A''}P

Les lois de Soddy montrent que :

\bf A = A' + A"

\bf Z = Z' + Z"

L'atome d'uranium se désintègre spontanément en thorium 234 (_{90}^{234}Th) et en hélium 4 (_{2}^{4}He) qui sont des noyaux plus stables.

On a :

  • A_{Th}=234 et A_{He}=4
  • Z_{Th}=90 et Z_{He}=2

 

D'après les lois de Soddy, on a :

  • A_{Th} + A_{He} = 234+4=238=A_U
  • Z_{Th} + Z_{He} = 90+2=92=Z_U

 

On a bien conservation du nombre de charge et du nombre de masse.

On peut écrire la réaction nucléaire suivante :
_{92}^{238}U \ce{->} _{90}^{234'}Th^* + _{2}^{4}He

2

Les trois types de désintégrations

On distingue trois types de désintégrations radioactives en fonction de la nature de la particule émise : \bf\alpha, \bf\beta^+ et \bf\beta^-.

trois types désintégration
Les trois types de désintégrations
C

L'activité radioactive

L'activité radioactive d'un échantillon radioactif correspond au nombre de désintégrations radioactives se déroulant chaque seconde dans un échantillon. Elle est liée au nombre de radionucléides.

Activité radioactive

L'activité radioactive notée A et exprimée en becquerels (Bq) est égale au nombre de désintégrations radioactives par seconde se produisant dans un échantillon radioactif.

L'activité radioactive d'un adulte est d'environ 1 000 Bq. Cela signifie que son corps contient naturellement des radionucléides et que chaque seconde 1 000 désintégrations radioactives se produisent.

Relation entre l'activité radioactive et le nombre de radionucléides

L'activité radioactive A d'un échantillon est proportionnelle au nombre de radionucléides N qu'il contient :

\bf A_{\text{(Bq)}} = \lambda_{\text{(s}^{-1})} \times N

\lambda est la constante radioactive du radionucléide considéré.

La constante radioactive de l'iode 131 est \lambda = 1{,}0\times10^{-6}\text{ s}^{-1}. L'activité radioactive d'un échantillon contenant 2{,}0 \times 10^7 noyaux d'iode 131 est :
A_{\text{(Bq)}} = \lambda_{\text{(s}^{-1})} \times N
A = 1{,}0 \times 10^{-6} \times 2{,}0 \times 10^7
A = 20 \text{ Bq}

II

L'évolution temporelle d'une population de noyaux

Même si le phénomène de désintégration radioactive est aléatoire, il est possible de prévoir l'évolution temporelle d'un grand nombre de noyaux radioactifs. Cette évolution temporelle est donnée par la loi de décroissance radioactive. L'évolution des noyaux radioactifs diminue de moitié à un intervalle de temps constant appelé le « temps de demi-vie »  \bf t_{1/2}.

A

La loi de décroissance radioactive

La loi de décroissance radioactive donne le nombre de noyaux radioactifs restant dans un échantillon à un instant \bf t. La loi de décroissance radioactive dépend du nombre initial de noyaux et d'une constante radioactive qui dépend du noyau radioactif.

Loi de décroissance radioactive

La population de noyaux radioactifs dans un échantillon diminue de manière exponentielle. Si l'échantillon contient initialement N_0 noyaux, alors, à une date t, le nombre de noyaux restant est :

\bf N_{(t)} = N_0\times e^{-\lambda_{(\text{s}^{-1})}\times t_{(\text{s})}}

\lambda est une caractéristique de l'élément chimique, appelée constante radioactive.

loi décroissance radioactive
Loi de décroissance radioactive

Le noyau d'iode 131 (_{53}^{131}I) est un émetteur de type \beta^- dont la constante radioactive est \lambda = 1{,}0 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}. Un échantillon qui contient initialement N_0 = 2{,}0 \times 10^7 noyaux d'iode 131, en contiendra, au bout d'une durée de quatre jours (t = 4 \text{jours} = 4 \times 24 \times \text{3 600 secondes} :
N_{(\text{4 jours})} = 2{,}0 \times 10^7\times e^{1{,}0 \times10^{-6} \times 4 \times 24 \times 3600}
N_{(\text{4 jours})} = 1{,}4 \times 10^7

Après 4 jours, il restera 1{,}4 \times 10^7 noyau d'iode 131.

Soit un échantillon contenant N noyaux instables. La probabilité qu'un noyau se désintègre chaque seconde est égale à la constante radioactive de l'élément considéré : \lambda. Le nombre de noyaux qui se désintègrent \Delta N pendant un petit intervalle de temps \Delta t est proportionnel au nombre de noyaux présents N et à la durée \Delta t :
\Delta N = \lambda \times N \times \Delta t

Si on fait tendre \Delta t vers 0, on a :
dN = - \lambda \times N \times dt

Le signe « - » vient du fait que le nombre N diminue au cours du temps. De ce fait, la dérivée temporelle du nombre de noyaux instables est négative.

On obtient l'équation différentielle du premier ordre suivante :
\dfrac{dN}{dt} = - \lambda \times N

Avec la condition N = N_0 pour t = 0, la solution de cette équation différentielle est :
N_{(t)} = N_0\times e^{-\lambda_{(\text{s}^{-1})}\times t_{(\text{s})}}

L'activité radioactive suit la même loi de décroissance exponentielle car elle est proportionnelle au nombre de radionucléides.

Puisque : 

  • N_{(t)} = N_0\times e^{-\lambda_{(\text{s}^{-1})}\times t_{(\text{s})}}
  • A_{(t)} = \lambda \times N_{(t)}

 

On a, avec A_{0} = \lambda \times N_{0} :
A_{(t)} = A_0\times e^{-\lambda_{(\text{s}^{-1})}\times t_{(\text{s})}}

B

Le temps de demi-vie 

Le temps de demi-vie \bf t_{1/2} d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs dans un échantillon est divisé par deux.

Temps de demi-vie

Le temps de demi-vie, ou période radioactive, noté t_{1/2}, est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs contenus initialement dans un échantillon de matière est divisé par deux.

définition temps demi-vie
Temps de demi-vie

Le temps de demi-vie du carbone 14 est de 5 570 ans. Donc, au bout de cette période, un échantillon quelconque de carbone 14 aura perdu la moitié de ses radionucléides.

Relation entre temps de demi-vie et constante radioactive

Le temps de demi-vie t_{1/2} et la constante radioactive \lambda d'un radionucléide sont liés par la relation suivante :

\bf t_{1/2 \text{ (s)}} = \dfrac{ln(2)}{\lambda_{\text{ (s}^{-1})}}

La constante radioactive de l'iode 131 est \lambda = 1{,}0\times10^{-6} \text{ s}^{-1}. De ce fait, le temps de demi-vie de ce radionucléide est :
t_{1/2 \text{ (s)}} = \dfrac{ln(2)}{\lambda_{\text{ (s}^{-1})}}
t_{1/2} = \dfrac{ln(2)}{1{,}0 \times 10^{-6}}
t_{1/2} = \text{693 147 s} = 8 \text{ jours}

Il est impossible de connaître le moment où un noyau radioactif va se désintégrer, mais on peut prévoir l'évolution d'un grand nombre de noyaux radioactifs à l'aide de leur temps de demi-vie t_{1/2}.

Dans un échantillon contenant initialement un nombre N_0 de noyaux radioactifs, le nombre de noyaux radioactifs encore présents dans un échantillon au bout d'une durée t = n \times t_{1/2} est :

\bf N = \dfrac{N_0}{2^n}

décroissance exponentielle temps demi-vie successifs

Décroissance exponentielle et temps de demi-vie successifs

Soit N_0=\text{8 000}, le nombre initial de carbone 14. Le temps de demi-vie du carbone 14 est de 5 570 ans. Au bout de 2 \times \text{5 570} = \text{11 140 ans}, donc n = 2 et le nombre de noyaux de carbone 14 est :
N = \dfrac{N_0}{2^n}
N = \dfrac{\text{8 000}}{2^2}
N = \dfrac{\text{8 000}}{4}
N = \text{2 000}

III

La radioactivité naturelle

On peut trouver certains noyaux radioactifs dans l'environnement : c'est ce que l'on appelle la radioactivité naturelle. Ces noyaux radioactifs peuvent être utilisés pour dater certains systèmes qui étaient en équilibre avec leur environnement.

A

Les noyaux radioactifs naturels

Il existe dans la nature des noyaux radioactifs (ou radionucléides). Les plus communs sont le gaz radon 222 et le carbone 14.

Sources Atmosphère Roches granitiques Le sol (et les aliments)
Radionucléïdes

Radon 222 (_{86}^{222}Rn)

Carbone 14 (_{6}^{14}C)

Thorium 232 (_{90}^{232}Th)

Uranium 235 (_{92}^{235}U)

Uranium 238 (_{92}^{238}U)

Potassium 40 (_{19}^{40}K)
B

Le principe des datations

La décroissance des radionucléides naturels permet de dater certains systèmes qui étaient en équilibre avec leur environnement. La datation s'effectue en comparant le taux actuel de radionucléides et le taux, connu, lorsqu'il était en équilibre avec l'environnement.

Datation radiométrique

Une datation radiométrique est une méthode de datation absolue utilisant la variation régulière au cours du temps de la quantité de radionucléides dans certains corps.

Au moment de leur cristallisation, de nombreux minéraux contiennent du potassium dont une faible proportion est radioactive : le potassium 40 (^{40}K). La désintégration de cet élément produit de l'argon 40 (^{40}Ar). La mesure du nombre d'atomes d'argon 40 permet de déterminer la date de cristallisation du minéral.

Le nombre de radionucléides présent dans un échantillon de matière diminue au fur et à mesure que les noyaux se désintègrent. À l'origine, l'échantillon est un système en équilibre avec l'environnement. À une certaine date, l'échange avec l'environnement s'arrête car l'échantillon se retrouve isolé. Il est possible de dater la fin de cet échange en comparant le taux de radionucléides présent dans l'échantillon au taux naturel actuel, ou connu lorsque l'échantillon était en équilibre avec l'environnement.

À partir de la courbe de décroissance exponentielle du radionucléide considéré, la datation du système peut se faire graphiquement.

On mesure dans un organisme mort un taux de \dfrac{^{14}C}{^{12}C } = 25\text{ \%}. En plaçant ce taux sur la courbe de décroissance exponentielle du taux de carbone 14 sur carbone 12, on peut lire la durée qui sépare la mesure de ce taux à la date de mort de l'organisme.

datation mort organisme carbone 14

Datation de la mort d'un organisme à l'aide du carbone 14

D'après le graphique, cela fait 11 140 ans que le taux de carbone 14 sur carbone 12 diminue. La mort de cet organisme date de 11 140 ans.

Généralement, le nombre de radionucléides est déterminé à partir de la mesure de l'activité radioactive de l'échantillon de matière.

Les méthodes de datation sont valides pour des durées égales à une dizaine de demi-vies du radionucléide considéré. Après cette durée, le nombre de noyaux radioactifs encore présents est trop faible pour être mesuré avec précision.

Le temps de demi-vie du carbone 14 étant de 5 570 ans. La durée maximale pouvant être déterminée par datation au carbone 14 est de 10 \times \text{5 570 = 55 700 années}.

IV

Les applications de la radioactivité et les moyens de protection

Le phénomène de radioactivité est utilisé dans le domaine médical, en imagerie ou en traitement des maladies par rayonnement. Le danger des désintégrations radioactives est lié aux rayonnements ionisants qu'elles émettent, mais il existe des moyens de s'en protéger.

A

La radioactivité en imagerie médicale

Les rayons \bf \gamma (gamma) émis par les désintégrations nucléaires traversent facilement la matière. On peut utiliser le rayonnement \bf\gamma pour de l'imagerie médicale.

Des techniques d'imagerie médicale utilisent les rayonnements provenant des désintégrations radioactives.

Lors d'une tomographie par émission de positons (ou « PET-scan »), le produit radioactif est principalement absorbé par les cellules très actives, comme les tumeurs ou celles qui sont le siège d'une infection. Cette technique permet de visualiser les parties du corps présentant ces anomalies.

B

La radioactivité pour le traitement par rayonnements

Les désintégrations radioactives émettent des rayonnements ionisants. Ces rayonnements sont utilisés pour détruire des cellules cancéreuses.

Les rayonnements émis par une désintégration radioactive sont des rayonnements ionisants. Les rayonnements ionisants ont l'énergie suffisante pour interagir avec la matière et peuvent être nocifs voire mortels pour les organismes vivants. 

Après l'accident de Tchernobyl, les plus graves conséquences sur la santé ont été observées chez les premiers intervenants sur le site de la centrale nucléaire. En Biélorussie, en Ukraine et en Russie, l'accident a provoqué de nombreux cancers de la thyroïde chez les personnes exposées.

Les rayonnements ionisants peuvent modifier le noyau des cellules vivantes et provoquer des cancers, des malformations, etc. 

Des traitements médicaux exploitent des rayonnements ionisants contrôlés pour soigner des maladies, comme les cancers.

La radiothérapie consiste à irradier, de manière ciblée, des cellules tumorales avec des rayonnements ionisants. Cette technique détruit les cellules cancéreuses et limite leur prolifération.

C

Les méthodes de protection contre les rayonnements ionisants

Le danger de la radioactivité est lié au rayonnement émis. Certaines règles simples permettent de s'en protéger. Pour se protéger on peut limiter la durée d'exposition, s'éloigner de la source et utiliser des écrans suffisamment denses.

Face à un risque d'exposition à des rayonnements ionisants, des règles élémentaires permettent de limiter les risques : 

  • diminuer au maximum la durée d'exposition aux rayonnements ;
  • s'éloigner de la source des rayonnements, car l'intensité des rayonnements ionisants diminue avec la distance ;
  • placer entre la source et la personne un écran de protection suffisamment dense pour absorber la majorité des rayonnements.

De nombreux professionnels sont exposés aux rayonnements ionisants : les travailleurs du nucléaire et tous ceux confrontés à la radiologie. Ces personnes professionnellement exposées aux rayonnements ionisants suivent les règles de protection et peuvent porter des écrans en plomb dans leurs vêtements.

Les professionnels du nucléaire portent également un appareil appelé dosimètre. Un dosimètre mesure la quantité de rayonnements ionisants auxquels un individu est exposé. Ce dispositif permet de vérifier que la dose reçue ne dépasse pas les normes en vigueur. Les professionnels du nucléaire font l'objet d'un suivi sanitaire spécifique.