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Les probabilités

I

Expérience aléatoire

A

L'univers

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine.

Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.

Issue d'une expérience aléatoire

On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat possible de l'expérience.

Univers

On appelle univers d'une expérience aléatoire, noté \(\displaystyle{\Omega}\) ("omega"), l'ensemble des issues possibles de l'expérience.

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est : \(\displaystyle{\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\)

B

Les événements

Evénement

Un événement \(\displaystyle{A}\) est une partie de \(\displaystyle{\Omega}\).

-

Si on lance un dé à six faces, l'ensemble \(\displaystyle{\left\{ 2,4,6 \right\}}\) est un événement.

Il correspond à l'événement "obtenir un nombre pair".

Evénement élémentaire

Soit \(\displaystyle{\Omega}\) l'univers d'une expérience aléatoire.
On appelle événement élémentaire tout événement ne comportant qu'une seule issue, c'est-à-dire les événements \(\displaystyle{\left\{ \omega_{1} \right\},\left\{ \omega_{2} \right\},...,\left\{ \omega_{n} \right\}}\) si les éléments \(\displaystyle{\omega_{1}, \omega_{2},..., \omega_{n}}\) sont les issues de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\).

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est : \(\displaystyle{\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\). Les événements \(\displaystyle{\left\{ 1 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 2 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 3 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 4 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 5 \right\}}\) et \(\displaystyle{\left\{ 6 \right\}}\) constituent des événements élémentaires.

Événements incompatibles

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne contiennent pas d'issue commune.

L'expérience consiste toujours à lancer un dé à six faces.

On considère les événements suivants :

  • A : "obtenir un multiple de 3"
  • B : "obtenir 4 ou 5"

A et B sont deux événements incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

Événement contraire

On appelle événement contraire de l'événement \(\displaystyle{A}\), noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), l'ensemble des éléments de \(\displaystyle{\Omega}\) qui ne sont pas dans \(\displaystyle{A}\).

L'expérience considérée est encore le lancer d'un dé à six faces.

L'événement contraire à "obtenir un multiple de 3" est l'événement "ne pas obtenir un multiple de 3" soit l'événement "obtenir 1, 2, 4 ou 5".

II

Probabilité sur un ensemble fini

A

La probabilité d'un événement

Probabilité

Soit un événement \(\displaystyle{A}\).
La probabilité de \(\displaystyle{A}\), notée \(\displaystyle{p\left(A\right)}\), est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l'événement \(\displaystyle{A}\).

Si on lance un dé équilibré à 6 faces et que l'on s'interesse à l'événement A : "obtenir un multiple de 3".

A est réalisé si et seulement si les événements {obtenir 3} et {obtenir 6} sont réalisés. Or les nombres 3 et 6 ont la même probabilité de sortie, c'est-à-dire \(\displaystyle{\dfrac16}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{p\left(A\right)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac26=\dfrac13}\)

Evénement certain

Un événement certain est un événement qui se réalise obligatoirement. Sa probabilité est égale à 1.

Quelle que soit l'expérience considérée, \(\displaystyle{\Omega}\) est un événement certain et donc \(\displaystyle{p\left(\Omega\right)=1}\).

Par exemple, si on lance un dé à six faces, l'événement "obtenir un nombre compris entre 1 et 6" est un événement certain.

Evénement impossible

Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. Sa probabilité est nulle.

Quelle que soit l'expérience considérée, l'ensemble vide \(\displaystyle{\varnothing}\) est un événement impossible et donc \(\displaystyle{p\left(\varnothing\right)=0}\).

B

La réunion d'événements

Réunion d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers \(\displaystyle{\Omega}\). On appelle réunion de A et B l'événement noté \(\displaystyle{A\cup B}\) contenant les issues qui réalisent au moins un des deux événements A ou B.

Evénements incompatibles

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements incompatibles :

\(\displaystyle{p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right)}\)

-

Probabilité de la réunion de deux événements

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements :

\(\displaystyle{p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right)}\)

Cette égalité peut également s'écrire :

\(\displaystyle{p\left( A\cup B \right)+p\left( A\cap B \right)=p\left( A \right)+p\left( B \right)}\)

-
C

L'événement contraire

Evénement contraire

Soit un événement A. La probabilité de son événement contraire est égale à :

\(\displaystyle{p\left(\overline{A}\right) = 1 - p\left(A\right)}\)

-

\(\displaystyle{A\cup\overline{A}=\Omega}\)

\(\displaystyle{A\cap\overline{A}=\varnothing}\)

D

L'équiprobabilité

Situation équiprobable

On appelle situation équiprobable une expérience où tous les événements élémentaires de \(\displaystyle{\Omega}\) ont la même probabilité d'être réalisés.

Si on lance un dé équilibré à six faces, chaque face a la même probabilité de sortie qui vaut \(\displaystyle{\dfrac{1}{6}}\). On est donc dans une situation d'équiprobabilité.

Probabilité d'un événement

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est égale à :

\(\displaystyle{p\left(A\right) =\dfrac{\text{Nombre d'éléments de } A}{\text{Nombre d'éléments de } \Omega}}\)

On lance un dé équilibré à 6 faces une fois. On appelle \(\displaystyle{A}\) l'événement : "obtenir un multiple de 3".

Sachant que \(\displaystyle{\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\), on en déduit que les seuls multiples de 3 possibles sont les faces 3 et 6. L'événement A est donc constitué de deux événements élémentaires.

De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable. Le dé comportant six faces, chaque face a 1 chance sur 6 de sortir.

On en conclut finalement :

\(\displaystyle{p\left(A\right) =\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}}\)

Dans une situation d'équiprobabilité, la fréquence d'un caractère dans une population est la probabilité de l'observer lors d'un tirage.

Dans un lycée on sait qu'il y a 68% d'élèves qui ont les yeux marrons. Si on choisit un élève au hasard dans ce lycée, la probabilité d'obtenir un élève aux yeux marrons est égale à la fréquence d'apparition de ce caractère dans la population, soit 0,68.

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