Un lycée accueille 1350 élèves, externes ou demi-pensionnaires.
Le tableau ci-dessous indique la répartition des élèves par classe :
| Seconde | Première | Terminale | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Externes | 75 | 125 | 310 | |
| Demi-pensonnaires | 425 | |||
| Total | 355 | 1350 |
Lorsque l'on croise un élève dans la cour, on s'intéresse aux événements suivants :
- E_{e} : "l'élève est externe"
- E_{s} : "l'élève est en classe de seconde"
- E_{t} : "l'élève est en terminale"
Tous les élèves ont la même probabilité d'être croisés dans la cour.
Quel tableau représente correctement la situation donnée ?
Pour compléter le tableau, on procède par étapes progressives, en sélectionnant les lignes ou colonnes ne présentant qu'une seule case vide :
- Nombre d'élèves de seconde externes : 310-125-75=110
- Nombre d'élèves de seconde : 110+425=535
- Nombre d'élèves de première demi-pensionnaires : 355-75=280
- Nombre d'élèves demi-pensionnaires : 1\ 350-310=1\ 040
- Nombre d'élèves de terminale demi-pensionnaires : 1\ 040-425-280=335
- Nombre d'élèves de terminale : 125+335=460
On obtient le tableau suivant :
| Seconde | Première | Terminale | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Externes | 110 | 75 | 125 | 310 |
| Demi-pensionnaires | 425 | 280 | 335 | 1040 |
| Total | 535 | 355 | 460 | 1350 |
Quelle est la valeur de la probabilité P\left(E_{e}\cap E_{s}\right) ?
On cherche la probabilité que l'élève croisé soit externe et en classe de seconde. Il y a 110 élèves correspondant dans le lycée.
On en déduit que : card \left(E_{e}\cap E_{s}\right)=110
Sachant que card \left(\Omega\right)=1\ 350, et que tous les élèves peuvent être croisés de façon équiprobable dans la cour, on a :
P\left(E_{e}\cap E_{s}\right)=\dfrac{cardP\left(E_{e}\cap E_{s}\right)}{card\left(\Omega\right)}=\dfrac{110}{1\ 350}\approx0{,}08
Donc P\left(E_{e}\cap E_{s}\right)\approx0{,}08
Quelle est la valeur de la probabilité P\left(\overline{E_{e}}\cap E_{t}\right) ?
On cherche la probabilité que l'élève croisé soit demi-pensionnaire (événement contraire d'être externe) et en classe de terminale. Il y a 335 élèves correspondant dans le lycée.
On en déduit que : card \left(\overline{E_{e}}\cap E_{t}\right)=335
D'où : P \left(\overline{E_{e}}\cap E_{t}\right)=\dfrac{335}{1\ 350}\approx0{,}25
Donc P \left(\overline{E_{e}}\cap E_{t}\right)\approx0{,}25
Les événements E_{e} et E_{t} sont-ils incompatibles ?
Deux événements sont incompatibles si et seulement si la probabilité de leur intersection est nulle.
On calcule alors : P\left(E_{e}\cap E_{t}\right)
On cherche donc la probabilité que l'élève croisé soit externe et en terminale. Il y a 125 élèves correspondant dans le lycée.
Donc P\left(E_{e}\cap E_{t}\right)=\dfrac{125}{1\ 350} \approx 0{,}09 \neq0
Les événements E_{e} et E_{t} ne sont donc pas incompatibles. En effet, il est possible de croiser un élève externe de terminale. En revanche, les événements E_{s} et E_{t} (par exemple) sont incompatibles, car un élève ne peut pas être en même temps en terminale et en seconde.
Quel est le pourcentage d'externes parmi les élèves de première ?
Il y a 75 externes parmi les 355 élèves de première.
Le pourcentage d'externes parmi les élèves de première est donc égal à :
\dfrac{75}{355}\times100\approx21\%
Sachant que 21 % des élèves de première sont externes, la probabilité de croiser un élève externe alors que seuls les élèves de première sont dans la cour est donc environ égale à 0,21.