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Les matrices

I

Définition et opérations

A

Les définitions

Matrice

Soient m et n deux entiers naturels non nuls. Une matrice A de taille ou de format (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) à coefficients réels est un tableau de réels composé de m lignes et n colonnes.
Le terme situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne est appelé terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)).

  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{n}\)), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule ligne, est appelée matrice ligne.
  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule colonne, est appelée matrice colonne.
  • Une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)), c'est-à-dire possédant \(\displaystyle{n}\) lignes et \(\displaystyle{n}\) colonnes, est appelée matrice carrée d'ordre n.
  • Les termes de positions (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)) d'une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.

Soit \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 4 \cr -1 & 1 & 5,6\end{pmatrix}}\)

  • A est une matrice de taille (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)).
  • Le terme de position (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{3}\)) de A est égal à \(\displaystyle{4}\).
  • Le terme de position (\(\displaystyle{2}\), \(\displaystyle{3}\)) de A est égal à \(\displaystyle{5,6}\).

Soit \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix}1 & 1 & -8 & 0\end{pmatrix}}\)

B est une matrice ligne de taille (\(\displaystyle{1}\), \(\displaystyle{4}\)).

Soit \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -2 \cr 1 \cr 0\end{pmatrix}}\)

C est une matrice colonne de taille (\(\displaystyle{5}\), \(\displaystyle{1}\)).

Soit \(\displaystyle{D=\begin{pmatrix} 11 & 12 \cr\cr 21 & 22 \end{pmatrix}}\)

D est une matrice carrée d'ordre 2 et ses coefficients diagonaux sont 11 et 22.

On considère qu'une matrice composée d'une ligne et d'une colonne est un réel.

Matrices égales

Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients de même position sont deux à deux égaux.

Transposée d'une matrice

Soit A une matrice de n lignes et p colonnes, dont les coefficients sont \(\displaystyle{a_{i,j}}\). La transposée de A, notée \(\displaystyle{\text{}^tA}\), est la matrice de p lignes et n colonnes, dont le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est \(\displaystyle{a_{j,i}}\).

Autrement dit, les lignes de A sont les colonnes de \(\displaystyle{\text{}^tA}\), et les colonnes de A sont les lignes de \(\displaystyle{\text{}^tA}\).

Soit \(\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 14 & 6 & 6 \cr\cr 9 & 10 & 6 \cr\cr 30 & 4 & -9 \end{pmatrix}}\)

On a :

\(\displaystyle{^tA=\begin{pmatrix} 14 & 9 & 30 \cr\cr 6 & 10 & 4 \cr\cr 6 & 6 & -9 \end{pmatrix}}\)

B

Les propriétés opératoires

Somme de matrices

Soient A et B deux matrices de même taille. On appelle somme des matrices A et B, notée \(\displaystyle{A+B}\), la matrice de même taille dont les coefficients sont obtenus en sommant deux à deux les coefficients de même position des matrices A et B.

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 13 \cr\cr 2& 8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -9 & 12 \cr\cr -1 & 22 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 & 25 \cr\cr 1 & 30 \end{pmatrix}}\)

Produit d'une matrice par un réel

Soient A une matrice et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel quelconque. On appelle produit de la matrice A et du réel \(\displaystyle{\lambda}\) la matrice notée \(\displaystyle{\lambda A}\) de même taille que A dont les coefficients sont obtenus en multipliant chaque coefficient de A par \(\displaystyle{\lambda}\).

\(\displaystyle{2\times\begin{pmatrix} -9 & 12 \cr\cr -1 & 22 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -18 & 24 \cr\cr -2 & 44 \end{pmatrix}}\)

C

Le produit matriciel

Produit "matrice ligne x matrice colonne"

On considère une matrice ligne \(\displaystyle{L = \begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}}\) et une matrice colonne \(\displaystyle{C = \begin{pmatrix}b_1 \cr \vdots \cr b_n\end{pmatrix}}\).
Le produit \(\displaystyle{L \times C}\), noté \(\displaystyle{LC}\), est un réel égal à :

\(\displaystyle{LC = a_1 b_1 +... + a_n b_n}\)

\(\displaystyle{\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 \cr 8 \cr -1\end{pmatrix}=1 \times \left(-3\right) + 0 \times 8 + \left(-2\right) \times \left(-1\right) = -1}\)

Produit matriciel

On considère une matrice A de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{n}\)) et une matrice B de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{p}\)).
Le produit AB est égal à la matrice C de taille (\(\displaystyle{m}\), \(\displaystyle{p}\)) telle que le terme de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{j}\)) de C est égal au produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.

\(\displaystyle{\begin{pmatrix}\color{Blue}{-1} & \color{Blue}{4} & \color{Blue}{3} \cr ... &... &...\end{pmatrix}\begin{pmatrix}... & \color{Green}{2} &... \cr ... & \color{Green}{0} &... \cr ... & \color{Green}{1} &...\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}... & \color{Red}{1} &... \cr ... &... &...\end{pmatrix}}\)

Détail du calcul : \(\displaystyle{\color{Red}{1} = \color{Blue}{-1} \times \color{Green}{2} + \color{Blue}{4} \times \color{Green}{0} + \color{Blue}{3} \times \color{Green}{1}}\)

Le produit de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Ce qui signifie que le produit matriciel n'est pas commutatif : l'ordre de multiplication est important.

Pour éviter les erreurs, la disposition suivante permet d'identifier aisément la ligne et la colonne à multiplier pour obtenir chaque terme de la matrice produit :

-

Matrice colonne

On considère une matrice \(\displaystyle{A}\) de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)) formées des colonnes \(\displaystyle{A_1}\),..., \(\displaystyle{A_n}\), et une matrice colonne \(\displaystyle{X =\begin{pmatrix}x_1 \cr \vdots \cr x_n\end{pmatrix}}\).
Le produit \(\displaystyle{AX}\) est égal à la matrice colonne de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{1}\)) :

\(\displaystyle{AX = x_1 A_1 +... + x_n A_n}\)

On pose \(\displaystyle{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \cr\cr 0 & 2& 7 \cr\cr -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{X=\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -2 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\).

\(\displaystyle{AX=1\times\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix}-2\times\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2 \cr\cr 0 \end{pmatrix}+2\times\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 7 \cr\cr 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \cr\cr 10 \cr\cr 5 \end{pmatrix}}\)

II

Les matrices carrées et matrices inverses

A

Les matrices carrées remarquables

Matrice carrée

On appelle matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) une matrice de taille (\(\displaystyle{n}\), \(\displaystyle{n}\)).

La matrice \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \cr\cr 0 & 2& 7 \cr\cr -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}}\) est une matrice carrée d'ordre 3.

Diagonale d'une matrice

On appelle diagonale d'une matrice carrée d'ordre n les n coefficients de position (\(\displaystyle{i}\), \(\displaystyle{i}\)).

\(\displaystyle{A=\begin{pmatrix} \color{Red}{1} & 2 & -4 \cr\cr 0 &\color{Red}{2}& 7 \cr\cr -1 & 0 &\color{Red}{9} \end{pmatrix}}\)

La diagonale de cette matrice carrée d'ordre 3 est \(\displaystyle{\left( 1,2,9 \right)}\).

Matrice diagonale

On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix}a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} \color{Red}{1} & 0 & 0\cr\cr 0 &\color{Red}{2}& 0 \cr\cr 0 & 0 &\color{Red}{9} \end{pmatrix}}\) est une matrice diagonale.

Matrice identité

On appelle matrice identité d'ordre \(\displaystyle{n}\) la matrice carrée \(\displaystyle{I_n}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) formée d'une diagonale de 1 et de coefficients nuls ailleurs :

\(\displaystyle{I_n =\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{I_3=\begin{pmatrix} \color{Red}{1} & 0 & 0\cr\cr 0 &\color{Red}{1}& 0 \cr\cr 0 & 0 &\color{Red}{1} \end{pmatrix}}\) est la matrice identité d'ordre 3.

La matrice identité est une matrice diagonale. Elle joue le rôle de 1 dans le produit matriciel.

Pour tout entier naturel non nul n et toute matrice carrée A d'ordre n, on a :

\(\displaystyle{AI_n=I_nA=A}\)

Matrice nulle

On appelle matrice nulle d'ordre \(\displaystyle{n}\), notée \(\displaystyle{O_n}\), la matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) dont tous les coefficients sont nuls.

B

Les opérations

Soient \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) et \(\displaystyle{C}\) trois matrices carrées d'ordre \(\displaystyle{n}\), et \(\displaystyle{\lambda}\) un réel.

  • \(\displaystyle{ \lambda \left(AB\right) = \left(\lambda A\right) B = A \left(\lambda B\right)}\)
  • Associativité : \(\displaystyle{A\left(BC\right) = \left(AB\right) C}\)
  • Distributivité : \(\displaystyle{ A\left(B+C\right) = AB + AC }\) et \(\displaystyle{ \left(B+C\right) A = BA + CA }\)
  • \(\displaystyle{ A I_n = I_n A = A }\)
  • \(\displaystyle{ O_n = O_n A = AO_n }\)

Commutativité

Deux matrices carrées \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) commutent si et seulement si :

\(\displaystyle{AB = BA}\)

  • En général, \(\displaystyle{ AB \neq BA }\).
  • \(\displaystyle{AB}\) peut être nulle sans que ni \(\displaystyle{A}\) ni \(\displaystyle{B}\) ne soit nulle.
  • \(\displaystyle{AB = AC}\) n'implique pas nécessairement que \(\displaystyle{B=C}\).
C

Les puissances

Puissance d'une matrice

Soient \(\displaystyle{A}\) une matrice carrée d'ordre \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel non nul, on définit la puissance k-ième de \(\displaystyle{A}\) par :

\(\displaystyle{A^k = \underbrace{ A \times ... \times A }_{k\text{ fois}}}\)

Par convention, \(\displaystyle{ A^0 = I_n }\).

Pour tous entiers naturels \(\displaystyle{k}\) et \(\displaystyle{r}\) :

\(\displaystyle{A^k \times A^r = A^{k+r}}\)

D

L'inverse d'une matrice

Inverse d'une matrice

La matrice carrée \(\displaystyle{A}\) d'ordre \(\displaystyle{n}\) est inversible si et seulement s'il existe une matrice \(\displaystyle{B}\) telle que :

\(\displaystyle{AB = BA = I_n}\)

La matrice \(\displaystyle{B}\) est alors appelée matrice inverse de \(\displaystyle{A}\) et est notée \(\displaystyle{A^{-1}}\). Elle est unique.

On considère les matrices \(\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac32 \cr 0 & \dfrac12 \end{pmatrix}}\), et on calcule leurs produits :

\(\displaystyle{AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac32 \cr 0 & \dfrac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2}\)

\(\displaystyle{BA = \begin{pmatrix} 1 & -\dfrac32 \cr 0 & \dfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2}\)

On en déduit que \(\displaystyle{A}\) est inversible et que \(\displaystyle{A^{-1} = B}\).

III

L'expression et la résolution matricielle d'un système

Soit a, b, c, d, s et t des réels. Le système \(\displaystyle{\begin{cases}ax + by = s \cr cx + dy = t\end{cases}}\) d'inconnues x et y est équivalent aux équations matricielles :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}}\)

ou

\(\displaystyle{x\begin{pmatrix}a \cr c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b \cr d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}}\)

Si la matrice \(\displaystyle{\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}}\) est inversible, alors la matrice des solutions \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) est égale à \(\displaystyle{\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} s \cr\cr t \end{pmatrix}}\).

\(\displaystyle{\begin{cases} 3x+2y=-1 \cr \cr -8x+5y=4 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 3 & 2 \cr\cr -8 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 4 \end{pmatrix}}\)

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