Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 1 &2 \cr\cr 1& 3\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix} 3 & -2\cr\cr -1&1\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB =\begin{pmatrix} 1 & 2 \cr\cr 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2\cr\cr -1&1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1\times\left(3\right)+2\times\left(-1\right) & 1\times\left(-2\right)+2\times1\cr\cr 1\times 3+3\times\left(-1\right)&1\times\left(-2\right) +3\times1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA= \begin{pmatrix} 3 & -2\cr\cr -1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \cr\cr 1 & 3\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix} 3\times1+\left(-2\right)\times1 & 3\times2+\left(-2\right)\times3 \cr\cr-1\times1 + 1\times1 & -1\times2+1\times3\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 1 &3 \cr\cr 1&4\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix} 4 & -3\cr\cr -1&1\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 1 &3 \cr\cr 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3\cr\cr -1&1\end{pmatrix}
AB=\begin{pmatrix}1\times4+3\times\left(-1\right) &1\times\left(-3\right)+3\times1\cr\cr 1\times4+4\times\left(-1\right)&1\times\left(-3\right)+4\times1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA =\begin{pmatrix} 4 & -3\cr\cr -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &3 \cr\cr 1&4\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix}4\times1-3\times1&4\times3-3\times4\cr\cr -1\times1+1\times1&-1\times3+1\times4\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr\cr 1&0\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix} 1 & -1\cr\cr 0&1\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr\cr 1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1\cr\cr 0&1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1\times1 +1 \times0 &1\times\left(-1\right)+1\times1 \cr\cr 1\times1+0\times0&1\times\left(-1\right)+0\times1\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 &0 \cr\cr 1&-1\end{pmatrix} \neq I_2
On remarque que AB \neq I_2, les matrices A et B ne sont donc pas inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 1 &2\cr\cr3&4\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix}-2&1\cr\cr \dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 1 &2 \cr\cr3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\cr\cr \dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1\times\left(-2\right)+2\times \dfrac{3}{2}&1\times1+2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cr\cr3\times\left(-2\right)+4\times\dfrac{3}{2}&3\times1+4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA = \begin{pmatrix}-2&1\cr\cr \dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 \cr\cr3&4\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix}-2\times1+3\times1&-2\times2+1\times4\cr\cr \dfrac{3}{2}\times1-\dfrac{1}{2}\times3&\dfrac{3}{2}\times2-\dfrac{1}{2}\times4\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 2 &1\cr\cr1&1\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix}1&-1\cr\cr -1&2\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 2&1 \cr\cr1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\cr\cr -1&2\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 2\times1+1\times\left(-1\right)&2\times\left(-1\right) +1 \times2 \cr\cr1\times1+1\times\left(-1\right)&1\times\left(-1\right)+1\times2\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA =\begin{pmatrix}1&-1\cr\cr -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1 \cr\cr1&1\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix}1\times2-1\times1&1\times1-1\times1\cr\cr -1\times2+2\times1&-1\times1+2\times1\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 4 &7\cr\cr3&5\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix}-5&7\cr\cr 3&-4\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 4 &7\cr\cr3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&7\cr\cr 3&-4\end{pmatrix}
AB =\begin{pmatrix} 4\times\left(-5\right)+7\times3 &4\times7+7\times\left(-4\right)\cr\cr3\times\left(-5\right)+5\times3&3\times7+5\times\left(-4\right)\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr 0&1\end{pmatrix}=I_2
Calcul de BA
BA =\begin{pmatrix}-5&7\cr\cr 3&-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 &7\cr\cr3&5\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}-5\times7+7\times3&-5\times7+7\times5\cr\cr 3\times4-4\times3&3\times7-4\times5\end{pmatrix}
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0\cr\cr0& 1\end{pmatrix}=I_2
On obtient bien AB=BA = I_2, les matrices A et B sont donc inverses l'une de l'autre.
Les deux matrices suivantes sont-elles inverses l'une de l'autre ?
A = \begin{pmatrix} 3 &5\cr\cr2&4\end{pmatrix} et B =\begin{pmatrix}2&-2\cr\cr -1&2\end{pmatrix}
Deux matrices sont inverses l'une de l'autre si AB = BA = I_2.
Calcul de AB
AB = \begin{pmatrix} 3 &5\cr\cr2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-2\cr\cr -1&2\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 3\times2+5\times\left(-1\right) &3\times\left(-2\right)+5\times2 \cr\cr2\times 2+4\times\left(-1\right)&2\times\left(-2\right)+4\times2\end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 1&4 \cr\cr 0& 4 \end{pmatrix} \neq I_2
On remarque que AB \neq I_2, les matrices A et B ne sont donc pas inverses l'une de l'autre.