Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Les primitives

I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout x de I :

F(x)=f(x)

Soient F la fonction définie et dérivable sur et f la fonction définie sur par F(x)=x35x+1 et f(x)=3x25.

On a, pour tout réel x :

F(x)=3x25=f(x)

Donc F est une primitive de f sur .

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme xF(x)+k, où k est un réel quelconque.

La fonction F définie sur par F(x)=8x1x est une primitive sur de la fonction f définie sur par f(x)=8+1x2. Toutes les primitives de f sur sont donc de la forme :

x8x1x+k, avec k.

Toute fonction continue sur I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soient n un entier et k un réel. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. Le tableau suivant donne des primitives des fonctions usuelles :

f(x)F(x)I
kkx
xnxn+1n+1si n1 :

si n2 : ];0[ et ]0;+[

1x2x]0;+[
1xln(x)]0;+[
exex
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur un intervalle I de . La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

fFConditions
uunun+1n+1si n2, u ne s'annule pas sur I
uuln(u)u fonction strictement positive
uu2uu fonction strictement positive
ueueu
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