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Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

On dispose d'une population dans laquelle la fréquence d'apparition d'un caractère c est p. On prélève dans cette population un échantillon de taille n (la population est de taille suffisante pour considérer que les tirages sont indépendants). Le nombre de personnes de l'échantillon présentant le caractère c suit donc une loi binomiale de paramètres n et p.

D'après le théorème de Moivre-Laplace, on peut alors donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Une proportion \(\displaystyle{p=46}\) % de la population d'un pays vote lors d'une élection pour le candidat A. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A sur un échantillon de 100 habitants.

Etape 1

Vérifier que les conditions sont vérifiées

On identifie n la taille de l'échantillon, et p la fréquence du caractère dans la population, puis on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)

On a ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{p=0,46}\). On a ainsi :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np=46}\), donc \(\displaystyle{np\geqslant5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)=100\times0,54=54}\), donc \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)
Etape 2

Donner l'intervalle de fluctuation

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n est :

\(\displaystyle{I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]}\)

Plus généralement, si l'on cherche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(\displaystyle{\left(1-\alpha\right)}\) %, on détermine grâce à la calculatrice la valeur \(\displaystyle{\mu_{\alpha}}\) vérifiant \(\displaystyle{p\left(-\mu_{\alpha}\leqslant Z\leqslant\mu_{\alpha}\right)=1-\alpha}\), où Z suit une loi normale centrée réduite. L'intervalle I cherché est alors :

\(\displaystyle{I=\left[p-\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+\mu_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]}\)

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A est :

\(\displaystyle{I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]}\)

\(\displaystyle{I=\left[0,46-1,96\dfrac{\sqrt{0,46\left(1-0,46\right)}}{\sqrt{100}};0,46+1,96\dfrac{\sqrt{0,46\left(1-0,46\right)}}{\sqrt{100}}\right]}\)

On obtient :

\(\displaystyle{I=\left[0,362;0,558\right]}\)

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