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Valider ou rejeter une hypothèse portant sur une proportion

On émet une hypothèse sur la valeur de la proportion p d'apparition d'un caractère dans une population.

Pour valider ou rejeter cette hypothèse, on détermine un intervalle de confiance de cette proportion grâce à un échantillon de la population de taille n.

Un institut de sondage annonce que 93% des candidats ont eu leur baccalauréat cette année. Pour valider cette hypothèse, on interroge 100 élèves après l'annonce des résultats et 82 déclarent avoir réussi l'examen.

Faut-il valider ou rejeter l'hypothèse de l'institut de sondage ?

Etape 1

Calculer la fréquence d'apparition

Grâce aux données de l'énoncé, on détermine la fréquence f d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Sur 100 élèves interrogés, 82 ont eu leur baccalauréat. On a donc :

\(\displaystyle{f=\dfrac{82}{100}=0,82}\)

Etape 2

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95%

On détermine l'intervalle de confiance IC à 95% de la proportion p :

\(\displaystyle{IC=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)

Pour cela, on vérifie d'abord que les conditions suivantes sont remplies :

  • \(\displaystyle{n\geqslant30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant5 }\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant5 }\)

On a ici \(\displaystyle{n=100}\), \(\displaystyle{f=\dfrac{82}{100}=0,82}\) et \(\displaystyle{p=0,93}\).

Donc :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np=93}\) donc \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)=7}\) donc \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant5}\)

D'après le cours, l'intervalle de confiance à 95% du paramètre p est :

\(\displaystyle{IC=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)

Comme ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{f=0,82}\), on a :

\(\displaystyle{IC=\left[0,82-\dfrac{1}{\sqrt{100}} ; 0,82+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]=\left[0,72;0,92\right]}\)

Etape 3

Conclure

  • Si p (donné par l'énoncé) appartient à IC, on valide l'hypothèse au seuil de confiance de 95%.
  • Sinon, on rejette l'hypothèse au seuil de confiance de 95%.

La proportion annoncée (\(\displaystyle{p=0,93}\)) n'appartient pas à l'intervalle de confiance trouvé.

On rejette donc, au seuil de confiance de 95%, l'hypothèse avancée par l'institut de sondage.

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