À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 600 kg situé à une altitude h\left(t_1\right) de 50,0 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 5,65 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 25,0 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[50{,}0-25{,}0\right] + \left(5{,}65\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 2{,}28.10^1 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 85 kg situé à une altitude h\left(t_1\right) de 250 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 0,00 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 0,0 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[250-0{,}0\right] + \left(0{,}00\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 7{,}0.10^1 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 85 kg, situé à une altitude h\left(t_1\right) de 12,5 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 30,2 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 50,0 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[12{,}5-50{,}0\right] + \left(30{,}2\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 1{,}3.10^1 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 85 kg, situé à une altitude h\left(t_1\right) de 50 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 125 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 500 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[50-500\right] + \left(125\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 8{,}2.10^1 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 12 000 kg, situé à une altitude h\left(t_1\right) de 2000 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 10,2 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 200 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[2\ 000-200\right] + \left(10{,}2\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 1{,}88.10^2 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 150 g, situé à une altitude h\left(t_1\right) de 75 cm et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 0,00 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 0,0 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[75.10^{-2}-0{,}0\right] + \left(0{,}00\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 3,8 m.s-1.
À un instant t_1, on considère un système de masse m égale à 69 g, situé à une altitude h\left(t_1\right) de 4,52 m et possédant une vitesse v\left(t_1\right) de 0,78 m.s-1, qui ne subit que l'action de son poids. Ce système suit une trajectoire parabolique, et atteint l'altitude h\left(t_2\right) de 0,0 m et la vitesse v\left(t_2\right) à l'instant t_2.
L'énergie mécanique du système se conserve pendant le mouvement entre les instants t_1 et t_2.
Quelle est la valeur de la vitesse v\left(t_2\right) atteinte par le système ?
Au cours du mouvement d'un système entre deux points A et B, la variation de l'énergie mécanique du système correspond à la somme de la variation de son énergie cinétique et de la variation de son énergie potentielle totale :
\Delta E_m\left(t\right) = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
Si l'énergie mécanique est conservée au cours du mouvement, alors cette énergie ne varie pas et la relation précédente devient :
\Delta E_m = 0 = \Delta E_c\left(t\right) + \Delta E_p\left(t\right)
\Leftrightarrow \Delta E_c\left(t\right) = -\Delta E_p\left(t\right) (1)
Dans le cas du système décrit, l'énergie potentielle correspond uniquement à l'énergie potentielle de pesanteur. La variation de l'énergie potentielle entre les instants t_1 et t_2 vaut donc :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p} = \Delta_{t_{1}t_{2}} E_{p_p} = m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right) (2)
La variation de l'énergie cinétique entre les instants t_1 et t_2 vaut quant à elle :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_{c} = E_c\left(t_2\right) - E_c\left(t_1\right) = \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_2\right)^2 - \dfrac{1}{2} \times m \times v\left(t_1\right)^2 = \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) (3)
En exprimant les variations des énergies cinétiques et potentielles (2) et (3) dans la relation (1), on obtient une équation permettant d'exprimer la vitesse recherchée :
\Delta_{t_{1}t_{2}} E_c = -\Delta_{t_{1}t_{2}} E_p
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) =- m \times g \times \left(h\left(t_2\right) - h\left(t_1\right)\right)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times m \times \left(v\left(t_2\right)^2 - v\left(t_1\right)^2 \right) = m \times g \times \left(h\left(t_1\right) - h\left(t_2\right)\right)
\Leftrightarrow v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times g \times \left[h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)\right] + v\left(t_1\right)^2}
On effectue l'application numérique :
v\left(t_2\right) = \sqrt{2 \times 9{,}80 \times \left[4{,}52-0{,}0\right] + \left(0{,}78\right)^2}
Donc :
La vitesse atteinte par le système à l'instant t_2 vaut 9,4 m.s-1.