On donne le schéma représentant le profil d'une montagne russe. On considère, dans un premier temps, que le wagon se déplace sur les rails sans frottements.
Donnée : intensité de la pesanteur : g = 9{,}81 N.kg-1
Quelles sont les forces qui s'exercent sur le wagon ?
On étudie le système "wagon" dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Les forces de frottement agissant sur le wagon sont négligées.
Les forces qui s'exercent sur le wagon sont :
- Le poids \overrightarrow{P}
- La réaction du support \overrightarrow{R_N}
Les forces qui s'exercent sur le wagon sont :
- Le poids \overrightarrow{P}
- La réaction du support \overrightarrow{R_N}
Sur quel schéma les forces qui s'exercent sur le wagon sont-elles correctement représentées ?
Le poids \overrightarrow{P} est une force dont le point d'application est le centre de gravité du wagon, verticale et orientée vers le bas.
La réaction du support \overrightarrow{R_N} est une force dont le point d'application est le centre de contact entre le wagon et les rails, et cette force est perpendiculaire au support (les rails).
Que peut-on en déduire quant à l'énergie mécanique ?
La force \overrightarrow{R_N} ne travaille pas car elle est perpendiculaire au déplacement.
La force \overrightarrow{P} est conservative.
On en déduit que l'énergie mécanique EM du wagon est conservée.
L'énergie mécanique EM du wagon est conservée.
D'après la figure et sachant qu'au point A la vitesse du wagon est 18,0 km.h-1, quelle est sa vitesse au point C ?
L'énergie mécanique du wagon au point A a pour expression : E_{MA} = E_{CA} + E_{PA} = \dfrac{1}{2}.m.v_A^{2} + m.g.z_A
L'énergie du wagon au point C a pour expression : E_{MC} = E_{CC} + E_{PC} = \dfrac{1}{2}.m.v_C^{2} + m.g.z_C
Or, l'énergie mécanique est conservée, d'où :
E_{MA} =E_{MC}
\dfrac{1}{2}.m.v_A^{2} + m.g.z_A=\dfrac{1}{2}.m.v_C^{2} + m.g.z_C
L'altitude du point C étant 0 m, on a :
\dfrac{1}{2}.m.v_A^{2} + mgz_A=\dfrac{1}{2}.m.v_C^{2}
v_C^{2}=v_A^{2} + 2.gz_A
v_C = \sqrt[]{v_A^{2} + 2.gz_A}
On convertit la vitesse au point A en m.s-1 :
v_A = 18{,}0 km.h-1, soit :
v_A = \dfrac{18{,}0 \times 10^3}{3\ 600}
v_A = 5{,}00 m.s-1
d'où :
v_C = \sqrt[]{5{,}00^{2}+2\times9{,}81\times50{,}0}
v_C = 31{,}7 m.s-1
Soit :
v_C = 31{,}7 \times 3{,}6
v_C = 114 km.h-1
La vitesse du wagon au point C est 114 km.h-1.
Comment serait modifiée cette vitesse en présence de frottements ?
En présence de frottements, une partie de l'énergie mécanique du wagon serait dissipée en chaleur. L'énergie mécanique du wagon ne serait alors plus conservée mais diminuerait avec le temps.
En présence de frottements, la vitesse du wagon au point C serait plus faible que celle calculée.