Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer une vitesse à partir de la conservation de l'énergie mécanique

On considère un système de masse m et de charge électrique q qui se déplace entre un point A et un point B. La vitesse vB de ce système au point B se calcule à partir de la variation d'énergie potentielle totale et de la variation d'énergie cinétique entre les points A et B à condition que l'énergie mécanique se conserve.

Un électron de masse m pénètre dans un condensateur selon la figure ci-dessous. Il est animé d'une vitesse horizontale vA=5×103 km.s−1.
Déterminer à l'aide de la conservation de l'énergie mécanique sa vitesse vB en B.

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Données :

  • Masse de l'électron : m=9,1×1031 kg
  • Charge de l'électron : q=1,6×1019 C
  • Tension entre A et B : UAB=100 V
  • On négligera le poids de l'électron.
Etape 1

Rappeler l'expression de la variation de l'énergie mécanique ΔABEm

On rappelle la variation de l'énergie mécanique ΔABEm entre deux points A et B :

ΔABEm(t)=ΔABEc(t)+ΔABEp(t)

La variation de l'énergie mécanique ΔABEm de l'électron entre les deux points A et B vaut :

ΔABEm(t)=ΔABEc(t)+ΔABEp(t)

Etape 2

Introduire le fait que l'énergie mécanique se conserve

On introduit le fait que l'énergie mécanique se conserve entre les points A et B.

L'électron n'est soumis qu'à des forces conservatrices (forces électrostatiques), son énergie mécanique se conserve entre les points A et B.

Etape 3

Déduire que la variation d'énergie mécanique est nulle

On en déduit que la variation d'énergie mécanique est nulle entre les points A et B. On écrit la relation ainsi obtenue :

ΔABEm(t)=0=ΔABEc(t)+ΔABEp(t)

ΔABEc(t)=ΔABEp(t)

La variation d'énergie mécanique de l'électron est donc nulle entre les points A et B ainsi :

ΔABEm(t)=0

ΔABEc(t)+ΔABEp(t)=0

ΔABEc(t)=ΔABEp(t)

Etape 4

Rappeler l'expression de la variation de l'énergie cinétique ΔABEc(t)

On rappelle que la variation de l'énergie cinétique ΔABEc(t) entre les points A et B s'exprime en fonction de la vitesse v(t) et de la masse m du système de la façon suivante :

ΔABEc(t)=12×m×(v2B(t)v2A(t))

La variation de l'énergie cinétique ΔABEc(t) de l'électron entre les points A et B est :

ΔABEc(t)=12×m×(v2B(t)v2A(t))

Etape 5

Remplacer l'expression de la variation de l'énergie cinétique dans l'égalité résultante de la conservation de l'énergie mécanique

On remplace l'expression de la variation de l'énergie cinétique dans l'égalité déduite de la conservation de l'énergie mécanique :

12×m×(v2B(t)v2A(t))=ΔEp(t)

Ainsi, on obtient :

12×m×(v2B(t)v2A(t))=ΔEp(t)

Etape 6

Manipuler la formule pour exprimer la vitesse vB(t) au point B

On manipule la formule pour exprimer la vitesse au point B en fonction des autres paramètres :

12×m×(v2B(t)v2A(t))=ΔEp(t)

v2B(t)=v2A(t)+ΔEp(t)12×m

vB(t)=v2A(t)+ΔEp(t)12×m

On obtient alors la vitesse de l'électron au point B en fonction des autres paramètres :

12×m×(v2B(t)v2A(t))=ΔEp(t)

v2B(t)=v2A(t)+ΔEp(t)12×m

vB(t)=v2A(t)+ΔEp(t)12×m

Etape 7

Déterminer la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale ΔABEp(t)

On détermine la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale ΔABEp(t). Deux possibilités se présentent :

  • Si la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale ΔABEp(t) est donnée dans l'énoncé, on la relève.
  • Si la valeur de la variation de l'énergie potentielle totale ΔABEp(t) n'est pas donnée dans l'énoncé, il faut déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale.

La valeur de la variation de l'énergie potentielle de l'électron soumis à une tension électrique entre A et B est :

ΔABEp(t)=q×UAB

Etape 8

Effectuer l'application numérique de vB

On effectue l'application numérique afin de calculer la valeur vB.

On effectue l'application numérique :

vB(t)=(5×106)2+100×1,6×101912×9,1×1031

vB(t)=7 756 599 m.s−1

Etape 9

Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs

On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.

On écrit le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs, soit ici :

vB(t)=8×106 m.s−1

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