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Le développement et la factorisation

I

Calcul des sommes algébriques

A

Les sommes algébriques

Somme algébrique

Une somme algébrique est le résultat d'une succession d'additions et de soustractions.

Les expressions qui suivent sont des sommes algébriques :

  • \(\displaystyle{6-12+78+5,5-8-9}\)
  • \(\displaystyle{13x-15y+99-35}\)
Veiller aux signes de chacun des termes d'une somme algébrique.

L'ordre des termes d'une somme algébrique peut être modifié, sans modifier pour autant la valeur de la somme.

\(\displaystyle{a - b = a + \left(- b\right) = - b + a}\)

\(\displaystyle{98-65=98+\left(-65\right)=-65+98}\)

\(\displaystyle{75x+46-63y=-63y+75x+46=46-63y+75x}\)

B

La réduction de sommes algébriques

Réduction de sommes algébriques

Réduire une somme algébrique revient à effectuer tous les calculs possibles afin d'obtenir une forme plus condensée, appelée forme réduite.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres. On considère la somme algébrique \(\displaystyle{S}\) égale à :

\(\displaystyle{S = 3 - a + 2b - 1 + 2a}\)

Pour réduire \(\displaystyle{S}\), on calcule les valeurs numériques, puis on regroupe les termes en \(\displaystyle{{\color{Red}a}}\) et les termes en \(\displaystyle{{\color{Green}b}}\) :

\(\displaystyle{S = \color{Blue}{3-1} \color{Red}{-a+2a} \color{Green}{+2b}}\)

\(\displaystyle{S = {\color{Blue}2} \color{Red}{+a} \color{Green}{+2b}}\)

On obtient ainsi la forme réduite de \(\displaystyle{S}\), puisqu'il n'est plus possible de réduire davantage l'expression.

C

L'addition et la soustraction de sommes algébriques

Addition et soustraction de sommes algébriques

L'addition ou la soustraction de deux sommes algébriques donnent une nouvelle somme algébrique.

Pour additionner ou soustraire deux sommes algébriques, il est recommandé de placer chacune des sommes entre parenthèses avant de réduire l'expression, afin de distribuer correctement les signes.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres. On considère les sommes \(\displaystyle{U}\) et \(\displaystyle{V}\) égales à :

\(\displaystyle{U = 3 + 2a - b}\)

\(\displaystyle{V = b - a + 2}\)

On souhaite calculer \(\displaystyle{U - V}\) :

\(\displaystyle{U - V = \left(3 + 2a - b\right) - \left(b - a + 2\right)}\)

\(\displaystyle{U - V = 3 + 2a - b {\color{Red}-} b {\color{Red}+} a {\color{Red}-} 2}\)

\(\displaystyle{U - V = 1 + 3a - 2b}\)

II

Développer et factoriser

A

Développer

Multiplication de deux sommes algébriques

La multiplication de deux sommes algébriques donne une nouvelle somme algébrique.

Pour multiplier deux sommes algébriques, on place chacune des sommes entre parenthèses et on multiplie chaque terme de l'une par chaque terme de l'autre. On réduit enfin l'expression obtenue.

Soit \(\displaystyle{y}\) un nombre. On considère les sommes algébriques \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) suivantes :

\(\displaystyle{A = 3 - y}\)

\(\displaystyle{B = y + 1}\)

On souhaite calculer \(\displaystyle{A \times B}\) :

\(\displaystyle{A \times B = \left(3 - y\right) \left(y + 1\right)}\)

  • Etape 1 : on calcule \(\displaystyle{\left({\color{Red}3} - y\right) \left({\color{Red}y} + 1\right)}\) : \(\displaystyle{3y}\)
  • Etape 2 : on calcule \(\displaystyle{\left({\color{Red}3} - y\right) \left(y \color{Red}{+1}\right)}\) : \(\displaystyle{3}\)
  • Etape 3 : on calcule \(\displaystyle{\left(3 \color{Red}{-y}\right) \left({\color{Red}y} + 1\right)}\) : \(\displaystyle{- y^{2}}\)
  • Etape 4 : on calcule \(\displaystyle{\left(3 \color{Red}{-y}\right) \left(y \color{Red}{+1}\right)}\) : \(\displaystyle{- y}\)

On obtient finalement :

\(\displaystyle{A \times B = 3y + 3 - y^{2} - y}\)

Soit, après réduction (on regroupe les termes en \(\displaystyle{y}\) ) :

\(\displaystyle{A \times B = 2y + 3 - y^{2}}\)

Développement

Soient A et B deux sommes algébriques.

Développer le produit \(\displaystyle{A \times B}\) revient à le mettre sous la forme d'une somme algébrique.

\(\displaystyle{\left(5+5x\right)\left(2-x\right)=5\times2-5x+5x\times2-5x\times x=10-5x+10x-5x^2=-5x^2+5x+10}\)

B

Factoriser

Factorisation

Factoriser une somme algébrique revient à la mettre sous la forme d'un produit de sommes algébriques.

\(\displaystyle{18x+12=6\times3x+6\times2=6\left(3x+2\right)}\)

La factorisation est le procédé "inverse" du développement.

Pour factoriser une expression, on peut identifier un facteur commun à chaque terme de la somme.

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres. On souhaite factoriser la somme \(\displaystyle{S}\) suivante :

\(\displaystyle{S = 3a + ab}\)

Pour cela, on identifie un facteur commun à chaque terme de la somme : \(\displaystyle{3{\color{Red}a} + {\color{Red}a}b}\)

On peut donc factoriser par \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{S = a \left(3 + b\right)}\)

C

Les identités remarquables

Identités remarquables

Soient a et b deux nombres. On appelle identités remarquables les trois égalités suivantes :

\(\displaystyle{\left(a + b\right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}}\)

\(\displaystyle{\left(a - b\right)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}}\)

\(\displaystyle{\left(a + b\right) \left(a - b\right) = a^{2} - b^{2}}\)

Les identités remarquables servent à développer ou réduire des sommes algébriques classiques.

\(\displaystyle{\left( 4x+3 \right)^{2}=\left( 4x \right)^{2}+2\times4x\times3+3^2=16x^2+24x+9}\)

\(\displaystyle{\left( 7-x \right)^{2}=7^2-2\times7\times x+x^2=49-14x+x^2}\)

\(\displaystyle{\left( 3x-5 \right)\left( 3x+5 \right)=\left( 3x \right)^{2}-5^2=9x^2-25}\)

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