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Les fonctions

I

Les fonctions linéaires

A

Définition

Fonction linéaire

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu constant.
On appelle fonction linéaire la relation qui, à tout nombre \(\displaystyle{x}\), associe le nombre \(\displaystyle{y}\) tel que :

\(\displaystyle{y = ax}\)

On la note \(\displaystyle{x \longmapsto ax}\). Si la fonction est désignée par la lettre \(\displaystyle{f}\), on écrit aussi \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax}\).

\(\displaystyle{f\left(x\right)=5x}\) est une fonction linéaire et \(\displaystyle{a=5}\).

  • Le nombre \(\displaystyle{y}\) est l'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\).
  • Le nombre \(\displaystyle{x}\) est l'antécédent de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\).

Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre \(\displaystyle{x}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 3x}\)

Pour calculer l'image du nombre 2 par f, on remplace x par 2 :

\(\displaystyle{f\left(2\right) = 3 \times 2 = 6}\)

Dans cet exemple, 6 est l'image de 2 par f, et 2 est l'antécédent de 6 par f.

B

Caractérisation

Coefficient

Une fonction linéaire est définie par son coefficient \(\displaystyle{a}\). Il suffit ainsi de connaître la valeur de \(\displaystyle{a}\) pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Considérons la fonction linéaire de coefficient \(\displaystyle{a=7}\).

Si on veut calculer l'image du nombre 6, il suffit de multiplier 6 par a, ce qui donne \(\displaystyle{6\times7=42}\). L'image de 6 est 42.

Pour calculer l'antécédent de 14, on divise 14 par a. Ainsi, on obtient : \(\displaystyle{14\div7=2}\). L'antécédent de 14 est 2.

Proportionnalité

Pour une fonction linéaire donnée, toutes les images sont proportionnelles aux antécédents suivant le coefficient \(\displaystyle{a}\). Par conséquent, il suffit de connaître l'image d'un nombre non nul par une fonction linéaire pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient \(\displaystyle{a}\), et donc l'expression générale de \(\displaystyle{f}\).

Le tableau suivant représente les antécédents et les images par une fonction linéaire. On peut remarquer la situation de proportionnalité entre les images et les antécédents.

Pour obtenir les images, on multiplie les antécédents par 3, ce qui signifie que le coefficient de la fonction linéaire est \(\displaystyle{a=3}\). Son expression est donc : \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x}\).

-
C

L'application aux pourcentages d'évolution

Pourcentage d'évolution

On considère un prix de départ égal à \(\displaystyle{x}\).

Si le prix augmente de \(\displaystyle{t\%}\), le nouveau prix \(\displaystyle{y}\) est égal à :

\(\displaystyle{y = \left(1 +\dfrac{t}{100}\right) x}\)

Si le prix diminue de \(\displaystyle{t\%}\), le nouveau prix \(\displaystyle{y}\) est égal à :

\(\displaystyle{y = \left(1 -\dfrac{t}{100}\right) x}\)

Ainsi, la relation qui permet de calculer un prix après un pourcentage d'augmentation ou de diminution est une fonction linéaire, dont le coefficient est égal à :

  • \(\displaystyle{a = 1 +\dfrac{t}{100}}\) en cas d'augmentation
  • \(\displaystyle{a = 1 -\dfrac{t}{100}}\) en cas de diminution

Si l'augmentation du prix est de 16%, le coefficient est :

\(\displaystyle{a=1+\dfrac{16}{100}=1+0,16=1,16}\)

Si l'ancien prix est \(\displaystyle{x=136}\) euros, alors le nouveau prix \(\displaystyle{y}\) est :

\(\displaystyle{y=1,16x=1,16\times136=157,76}\) euros.

Si la diminution du prix est de 18%, le coefficient est :

\(\displaystyle{a=1-\dfrac{18}{100}=1-0,18=0,82}\)

Si l'ancien prix est \(\displaystyle{x=120}\) euros, alors le nouveau prix \(\displaystyle{y}\) est :

\(\displaystyle{y=0,82x=0,82\times120=98,4}\) euros.

D

La représentation graphique

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire \(\displaystyle{x \longmapsto ax}\) est une droite passant par l'origine O. Le nombre \(\displaystyle{a}\) est appelé coefficient directeur de la droite.

Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 0,5x}\)

Sa représentation graphique dans le repère est la droite tracée en bleu ci-dessous :

-

On peut lire graphiquement les images en ordonnée, sur l'axe \(\displaystyle{\left(Oy\right)}\), et les antécédents en abscisse, sur l'axe \(\displaystyle{\left(Ox\right)}\).

Dans cet exemple, on constate que \(\displaystyle{f\left(8\right) = 4}\). On peut dire aussi :

  • 4 est l'image de 8
  • 8 est l'antécédent de 4.

On retrouve le même résultat par le calcul :

\(\displaystyle{0,5 \times 8 = 4}\).

Réciproque

Réciproquement, toute droite non verticale \(\displaystyle{\left( d \right)}\) passant par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

En considérant un point A appartenant à \(\displaystyle{\left( d \right)}\) et distinct de l'origine du repère dont les coordonnés dans le plan sont notées \(\displaystyle{\left( x_A,y_A \right)}\), le coefficient directeur a de la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) se calcule de la manière suivante :

\(\displaystyle{a=\dfrac{y_A}{x_A}}\)

II

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Soit \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus constants.
On appelle fonction affine la relation qui, à tout nombre \(\displaystyle{x}\), associe le nombre \(\displaystyle{y}\) tel que :

\(\displaystyle{y = ax + b}\)

On la note \(\displaystyle{x \longmapsto ax + b}\). Si la fonction est désignée par la lettre \(\displaystyle{f}\), on écrit aussi \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\).

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x+5}\) est affine avec \(\displaystyle{a=-3}\) et \(\displaystyle{b=5}\).

On distingue deux formes de fonctions affines particulières :

  • si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est linéaire (une fonction linéaire est une fonction affine) ;
  • si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante (tous les nombres ont même image, égale à b).

La fonction définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=6x+0=6x}\) est une fonction linéaire avec \(\displaystyle{a=6}\) et \(\displaystyle{b=0}\).

La fonction définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=9}\) est une fonction constante avec \(\displaystyle{a=0}\) et \(\displaystyle{b=9}\).

B

Caractérisation

Coefficient et nombre b

Une fonction affine est définie par son coefficient \(\displaystyle{a}\) et le nombre \(\displaystyle{b}\). Il suffit ainsi de connaître les valeurs de \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Soit la fonction affine définie par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x-4}\).

Ici on connaît a et b. On peut calculer l'image de 5 en remplaçant x par 5 :

\(\displaystyle{f\left(5\right)=2\times5-4=10-4=6}\).

L'image de 5 est donc 6.

On peut également déterminer l'antécédent de −1, en résolvant une équation :

\(\displaystyle{2x-4=-1}\)

\(\displaystyle{2x=-1+4}\)

\(\displaystyle{2x=3}\)

\(\displaystyle{x=\dfrac32}\).

L'antécédent de −1 est \(\displaystyle{\dfrac32}\).

On peut regrouper plusieurs images et antécédents dans un tableau de valeur.

Un tableau de valeurs de la fonction affine \(\displaystyle{f\left(x\right)=4x-7}\) est par exemple :

x −1 5 10 12 20
f(x) −11 13 33 41 73

Un tableau de valeurs d'une fonction affine n'est pas un tableau de proportionnalité.

Accroissement des images et des antécédents

Pour une fonction affine donnée, l'accroissement des images (c'est-à-dire la différence entre deux images) est proportionnel à l'accroissement des antécédents correspondants suivant le coefficient \(\displaystyle{a}\). Par conséquent, il suffit de connaître les images \(\displaystyle{y_{1}}\) et \(\displaystyle{y_{2}}\) de deux nombres \(\displaystyle{x_{1}}\) et \(\displaystyle{x_{2}}\) par une fonction affine pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{a =\dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}}\)

On peut ensuite en déduire la valeur de \(\displaystyle{b}\), et donc l'expression générale de la fonction affine.

Si l'image de \(\displaystyle{\color{Red}{x_1=-2}}\) par une fonction affine \(\displaystyle{f}\) est \(\displaystyle{\color{Green}{y_1=-3}}\), et si celle de \(\displaystyle{\color{Blue}{x_2=1}}\) est \(\displaystyle{\color{Purple}{y_2=3}}\) , alors on peut déterminer le coefficient \(\displaystyle{a}\).

\(\displaystyle{a=\dfrac{\color{Purple}{y_2}-\color{Green}{y_1}}{\color{Blue}{x_2}-\color{Red}{x_1}}=\dfrac{\color{Purple}{3}-\color{Green}{\left(-3\right)}}{\color{Blue}{1}-\left( \color{Red}{-2} \right)}=\dfrac{3+3}{1+2}=\dfrac{6}{3}=2}\)

L'expression de la fonction affine est donc de la forme : \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+b}\).

On va alors déterminer b, en utilisant une des deux informations concernant les images. Par exemple, \(\displaystyle{f\left(\color{red}{x_2}\right)=\color{green}{y_2}}\). On obtient l'équation d'inconnue b suivante :

\(\displaystyle{2\times\color{blue}{1}+b=\color{purple}{3}}\)

\(\displaystyle{b=3-2}\)

\(\displaystyle{b=1}\).

En conclusion l'expression de la fonction affine est :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\).

C

La représentation graphique

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto ax + b}\) est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b). Le nombre \(\displaystyle{a}\) est appelé coefficient directeur de la droite (ou pente de la droite), et le nombre \(\displaystyle{b}\) ordonnée à l'origine.

-

Attention le nombre \(\displaystyle{a}\) est appelé coefficient directeur (ou pente) uniquement lorsque l'on parle de la droite. Si on parle de la fonction, \(\displaystyle{a}\) est simplement nommé coefficient.

Réciproque

Réciproquement, toute droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) coupant l'axe des ordonnées du repère est la représentation graphique d'une fonction affine.

L'ordonnée à l'origine b est alors l'ordonnée du point de la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) d'abscisse 0.

Le coefficient directeur a s'obtient à partir des coordonnés de deux points distincts de la droite notés \(\displaystyle{A\left( x_A,y_A \right)}\) et \(\displaystyle{B\left( x_B,y_B \right)}\) :

\(\displaystyle{a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

Les droites représentant respectivement la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto ax + b}\) et la fonction linéaire \(\displaystyle{x \longmapsto ax}\), de même coefficient directeur \(\displaystyle{a}\), sont parallèles.

-
III

La généralisation de la notion de fonction

A

Principe

Fonction numérique

Toute relation qui associe à un nombre variable \(\displaystyle{x}\) un unique nombre \(\displaystyle{y}\) définit une fonction numérique.

L'expression \(\displaystyle{y=3x^2-5x+1}\) est celle d'une fonction numérique, notée \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^2-5x+1}\).

Les fonctions linéaires et affines sont des fonctions numériques parmi d'autres.
B

Vocabulaire

Image

On appelle image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) le nombre \(\displaystyle{y}\) qui vérifie :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

Considérons la fonction définie par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=3x-6+\dfrac1x}\)\(\displaystyle{x\neq0}\)

On peut déterminer l'image de 4 en remplaçant \(\displaystyle{x}\) par 4.

Ainsi l'image de 4, notée \(\displaystyle{f\left(4\right)}\), est :

\(\displaystyle{f\left(4\right)=3\times4-6+\dfrac14=12-6+0,25=6,25}\)

Si elle existe, l'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) est unique.

Antécédent

On appelle antécédents de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\) le ou les nombres \(\displaystyle{x}\) qui vérifient :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

Déterminons les antécédents de 36 par la fonction f définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\).

Pour cela on résout l'équation, d'inconnue x, suivante :

\(\displaystyle{x^2=36}\).

On obtient deux solutions qui sont :

\(\displaystyle{x=\sqrt{36}=6}\) et \(\displaystyle{x=-\sqrt{36}=-6}\).

Les antécédents de 36 par f sont donc 6 et −6.

Un nombre peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par \(\displaystyle{f}\).

  • Le nombre 0 n'a pas d'antécédent par la fonction \(\displaystyle{f}\) définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\), où \(\displaystyle{x\neq0}\). En effet l'équation, \(\displaystyle{\dfrac1x=0}\) n'a pas de solution.
  • Le nombre 0 a trois antécédents par la fonction \(\displaystyle{g}\) définie par \(\displaystyle{g\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(2-x\right)\left(x-6\right)}\). En effet l'équation \(\displaystyle{\left(x+1\right)\left(2-x\right)\left(x-6\right)=0}\) possède trois solutions qui sont : −1, 2 et 6 (règle du produit nul).
-
C

La représentation graphique

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\).

En dehors des fonctions linéaires et affines, la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite.
-
  • L'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) est l'ordonnée du point de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'abscisse \(\displaystyle{x}\).
  • Les antécédents de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\) sont les abscisses des points de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'ordonnée \(\displaystyle{y}\).

Sur le graphique ci-dessous, on peut lire l'image du nombre 4,5, qui est 1.

On peut aussi déterminer les antécédents de 3, qui sont −5 et 6.

-

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