Déterminer un intervalle de fluctuation

Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale, il est possible de déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon n, de X.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de "Pile" obtenus lorsqu'on lance une pièce équilibrée 80 fois de suite.

Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du nombre de piles sur 80 lancers.

Etape 1

Identifier le caractère et sa fréquence p

On identifie le caractère donné dans l'énoncé ainsi que sa fréquence.

On s'intéresse à la proportion de "Pile" lors du lancer d'une pièce de monnaie. Sa probabilité est \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\).

Etape 2

Préciser que les tirages sont effectués avec remise

On justifie que les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Les lancers sont indépendants, donc les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Etape 3

Conclure sur la loi binomiale

On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précise les paramètres n et p.

Or, X dénombre les "Pile" dans la série de 80 lancers indépendants. On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n =80}\) et \(\displaystyle{p = 0,5}\).

Etape 4

Réciter le cours

On rappelle que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est :

\(\displaystyle{I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]}\)

Avec a et b les plus petits entiers tels que \(\displaystyle{p\left(X\leq a\right)\gt 0,025}\) et \(\displaystyle{p\left(X\leq b\right)\geq 0,975}\).

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation au coefficient \(\displaystyle{95\%}\) de la fréquence est \(\displaystyle{\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]}\), avec a et b les plus petits entiers tels que \(\displaystyle{p\left(X\leq a\right)\gt 0,025}\) et \(\displaystyle{p\left(X\leq b\right)\geq 0,975}\).

Etape 5

Déterminer a et b à l'aide de la calculatrice

À l'aide de la calculatrice, on dresse la table des valeurs des \(\displaystyle{p\left(X \leq k\right)}\).

Dans cette table, a est le plus petit entier tel que \(\displaystyle{p\left(X \leq a\right) \gt 0,025}\) et b le plus petit entier tel que \(\displaystyle{p\left(X \leq b\right) \geq 0,975}\).

Il arrive parfois que la table soit donnée en énoncé.

À l'aide de la calculatrice, on détermine que :

\(\displaystyle{p\left(X \leq 30\right) \approx 0,016}\) et \(\displaystyle{p\left(X \leq 31\right) \approx 0,028}\) donc \(\displaystyle{a = 31}\)
\(\displaystyle{p\left(X \leq 48\right) \approx 0,972}\) et \(\displaystyle{p\left(X \leq 49\right) \approx 0,984}\) donc \(\displaystyle{b= 49}\)

Etape 6

Conclure sur l'intervalle de fluctuation

On conclut en donnant l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès : \(\displaystyle{\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]}\).

On en déduit que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès est donc \(\displaystyle{\left[ \dfrac{31}{80} ; \dfrac{49}{80}\right]}\).