Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Déterminer un intervalle de fluctuation

Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale, il est possible de déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon n, de X.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de "Pile" obtenus lorsqu'on lance une pièce équilibrée 80 fois de suite.

Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du nombre de piles sur 80 lancers.

Etape 1

Identifier le caractère et sa fréquence p

On identifie le caractère donné dans l'énoncé ainsi que sa fréquence.

On s'intéresse à la proportion de "Pile" lors du lancer d'une pièce de monnaie. Sa probabilité est p=12.

Etape 2

Préciser que les tirages sont effectués avec remise

On justifie que les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Les lancers sont indépendants, donc les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Etape 3

Conclure sur la loi binomiale

On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précise les paramètres n et p.

Or, X dénombre les "Pile" dans la série de 80 lancers indépendants. On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n=80 et p=0,5.

Etape 4

Réciter le cours

On rappelle que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est :

I=[an;bn]

Avec a et b les plus petits entiers tels que p(Xa)>0,025 et p(Xb)0,975.

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréquence est [an;bn], avec a et b les plus petits entiers tels que p(Xa)>0,025 et p(Xb)0,975.

Etape 5

Déterminer a et b à l'aide de la calculatrice

À l'aide de la calculatrice, on dresse la table des valeurs des p(Xk).

Dans cette table, a est le plus petit entier tel que p(Xa)>0,025 et b le plus petit entier tel que p(Xb)0,975.

Il arrive parfois que la table soit donnée en énoncé.

À l'aide de la calculatrice, on détermine que :

  • p(X30)0,016 et p(X31)0,028 donc a=31
  • p(X48)0,972 et p(X49)0,984 donc b=49
Etape 6

Conclure sur l'intervalle de fluctuation

On conclut en donnant l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès : [an;bn].

On en déduit que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès est donc [3180;4980].

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