Etudier l'énergie d'un skieur Problème

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Dernière modification : 13/11/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Un skieur participe à une épreuve du Super G. La piste a un dénivelé de 850 m et le départ est arrêté. Le skieur pèse 75 kg et son équipement 15 kg : on considère donc un total de 90 kg.

On prend l'origine de l'axe des z en bas de la piste, donc le départ se fait en z_{1} = 850 m.

Quelle est l'énergie mécanique totale E_{m1} du skieur à l'instant du départ ?

Donnée : g = 9{,}81 m.s^-2

E_{m1} = E_{c1} +E_{p1} = 0 + m \times g \times z_{1} = 90 \times 9{,}81 \times 850 = 7{,}5 \times 10^{5} J

E_{m1} = E_{c1} +E_{p1} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_1^{2} + m \times g \times z_1 = \dfrac{1}{2} \times 90 \times 12^{2} + 90 \times 9{,}81 \times 850 = 7{,}6 \times 10^{5} J

E_{m1} = E_{c1} +E_{p1} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_1^{2} + 0 = 90 \times 9{,}81 \times 850 = 7{,}2 \times 10^{3} J

E_{m1} = E_{c1} +E_{p1} = 0 + 0 = 0 J

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie mécanique d'un corps s'exprime :

E_{m} = E_{c} + E_{p}

Avec :

E_m, l'énergie mécanique en Joules (J)
E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)
E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)

Il faut donc déterminer ce que valent les énergies cinétique et potentielle au départ pour en déduire l'énergie mécanique.

Etape 1

Énergie cinétique du skieur au départ

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie cinétique d'un corps s'exprime :

E_{c} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}

Avec :

m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
v, la vitesse du corps en mètres par seconde (m/s)
E_c, l'énergie cinétique en Joules (J)

À l'instant du départ, le skieur a une vitesse nulle : son énergie cinétique est donc également nulle puisqu'elle dépend de la vitesse.

Etape 2

Énergie potentielle du skieur au départ

L'expression générale permettant de déterminer l'énergie potentielle de pesanteur d'un corps s'exprime :

E_{p} = m \times g \times z

Avec :

m, la masse du corps en kilogrammes (kg)
g, la constante de gravitation ou champ de pesanteur terrestre (N/kg ou m.s^-2)
z, l'altitude du centre d'inertie de l'objet en mètres (m)
E_p, l'énergie potentielle en Joules (J)

Ici, on a donc :

E_{p1} = m \times g \times z_{1}

En faisant l'application numérique après avoir exprimé chaque grandeur dans son unité standard, on obtient :

E_{p1} = 90 \times 9{,}81 \times 850

E_{p1} = 7{,}5 \times 10^{5} J

Etape 3

Énergie mécanique du skieur au départ

On obtient :

E_{m1} = E_{c1} +E_{p1}

E_{m1} =0 +E_{p1}

E_{m1} =E_{p1}

Soit :

E_{m1} =7{,}5\times10^5 J

À l'arrivée, le skieur a une vitesse de 126 km.h^-1.

Quelle est son énergie mécanique E_{m2} à l'arrivée ?

E_{m2} = E_{c2} +E_{p2} = 0 + m \times g \times z_{2} = 90 \times 9{,}81 \times 15 = 1{,}3 \times 10^{4} J

E_{m2} = E_{c2} +E_{p2} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_2^{2} + m \times g \times z_{2} = \dfrac{1}{2} \times 90 \times \left(\dfrac{126}{3{,}6}\right)^2 + 90 \times 9{,}81 \times 15 = 6{,}8 \times 10^{4} J

E_{m2} = E_{c2} +E_{p2} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_2^{2} + 0 = \dfrac{1}{2} \times 90 \times \left(\dfrac{126}{3{,}6}\right)^2 +0 = 5{,}5 \times 10^{4} J

E_{m2} = E_{c2} +E_{p2} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_2^{2} + m \times g \times z_{2} = \dfrac{1}{2} \times 90 \times 126^2 + 90 \times 9{,}81 \times 15 = 7{,}3 \times 10^{5} J

L'origine de l'axe des z est au point d'arrivée, donc l'énergie potentielle du skieur est nulle. Ainsi, l'énergie mécanique à l'arrivée est égale à l'énergie cinétique. Donc :

E_{m2} = E_{c2} = \dfrac{1}{2} \times m \times v^{2}

Pour réaliser l'application numérique, il faut d'abord exprimer la vitesse en m.s^-1. Il y a 1000 mètres dans 1 km mais 3600 secondes dans une heure donc :

v = \dfrac{126}{3{,}6}

v = 35 m.s^-1

On trouve finalement :

E_{m2} = \dfrac{1}{2} \times 90 \times 35^{2}

E_{m2} = 5{,}5 \times 10^{4} J

L'énergie mécanique du skieur à l'arrivée est de 5{,}5 \times 10^{4} Joules.

Le mouvement s'effectue-t-il sans perte d'énergie ?

L'énergie mécanique a diminué au cours du mouvement : le système a perdu de l'énergie à cause des frottements des skis sur la neige.

L'énergie mécanique a augmenté au cours du mouvement : le système a gagné de l'énergie grâce au travail du poids.

L'énergie mécanique a augmenté au cours du mouvement : le système a gagné de l'énergie grâce à la pente.

L'énergie mécanique est restée constante au cours du mouvement : le système n'a ni gagné, ni perdu de l'énergie.

On a :

E_{m1} = 7{,}5 \times 10^{5} J
E_{m2} = 5{,}5 \times 10^{4} J

Or 7{,}5 \times 10^{5} \gt 5{,}5 \times 10^{4}

Donc :

E_{m1} \gt E_{m2}

On constate que l'énergie mécanique était plus importante au départ, donc elle a diminué : le mouvement a perdu de l'énergie à cause du frottement des skis sur la neige.