Calculer la longueur d'un méridien à la manière d'Ératosthène - 1ère - Exercice Enseignement scientifique

On désire reproduire la mesure de la longueur d'un méridien à la manière d'Ératosthène. Pour cela, on mesure à l'aide d'un gnomon (simple bâton planté dans le sol) la taille de l'ombre du Soleil à deux endroits différents, Gien (en France) et Grenade (en Espagne).

On donne la représentation du gnomon :

Quelle est la relation qui permet de calculer l'angle \alpha à partir de la taille du bâton H et de celle de l'ombre sur le sol h ?

\text{cos}( \alpha) = \dfrac{h}{H}

\text{cos}( \alpha) = \dfrac{H}{h}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{H}{h}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{h}{H}

On donne la figure illustrant les angles entre les verticales et les rayons du Soleil mesurés à Gien ( G ) et à Grenade ( G' ) :

Quelle est alors la relation donnant l'angle \overset{\frown}{PTB} ?

\overset{\frown}{GTG'}= \dfrac{ \alpha}{ \alpha'}

\overset{\frown}{GTG'}= \alpha - \alpha'

\overset{\frown}{GTG'}= \dfrac{ \alpha'}{ \alpha}

\overset{\frown}{GTG'}= \alpha + \alpha'

Les villes de Gien et Grenade sont distantes de 1 185 km et les angles mesurés sont respectivement \alpha = 50{,}31° et \alpha' = 39{,}65°.

Quel est le calcul correct donnant la longueur d'un méridien terrestre ?

L = \dfrac{360}{50{,}31 + 39{,}65} \times \text{1 185} = 3{,}50 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{360}{50{,}31 - 39{,}65} \times \text{1 185} = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{180}{50{,}31 + 39{,}65} \times \text{1 185} = 1{,}50 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{180}{50{,}31 - 39{,}65} \times \text{1 185} = 2{,}00 \times 10^4 \text{ km}

On donne la représentation du gnomon :

Quelle est la relation qui permet de calculer l'angle \alpha à partir de la taille du bâton H et de celle de l'ombre sur le sol h ?

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{h}{H}

\text{cos}( \alpha) = \dfrac{h}{H}

\text{cos}( \alpha) = \dfrac{H}{h}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{H}{h}

On donne la figure illustrant les angles entre les verticales et les rayons du Soleil mesurés à Angoulême ( A ) et à Londres ( L ) :

Quelle est alors la relation donnant l'angle \overset{\frown}{LTA} ?

\overset{\frown}{LTA}= \alpha - \alpha'

\overset{\frown}{LTA}= 180 - \alpha + \alpha'

\overset{\frown}{LTA}= 180 + \alpha + \alpha'

\overset{\frown}{LTA}= 180 - \alpha - \alpha'

Les villes de Gien et Grenade sont distantes de 648 km et les angles mesurés sont respectivement \alpha = 45{,}62° et \alpha' = 39{,}79°.

Quel est le calcul correct donnant la longueur d'un méridien terrestre ?

L = \dfrac{360}{648 \times (45{,}62 - 39{,}79)} = 1{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{648\times (45{,}62 - 39{,}79)}{360 } = 1{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{648}{360 \times (45{,}62 - 39{,}79)} = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{360}{45{,}62 - 39{,}79} \times 648 = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

On donne la représentation du gnomon :

Quelle est la relation qui permet de calculer l'angle \alpha à partir de la taille du bâton L et de celle de l'ombre sur le sol l ?

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

On donne la figure illustrant les angles entre les verticales et les rayons du Soleil mesurés à Paris ( P ) et à Bourges ( B ) :

Quelle est alors la relation donnant l'angle \overset{\frown}{PTB} ?

\overset{\frown}{PTB}= \dfrac{ \alpha'}{ \alpha}

\overset{\frown}{PTB}= \alpha - \alpha'

\overset{\frown}{PTB}= \alpha + \alpha' + 90

\overset{\frown}{PTB}= \dfrac{ \alpha}{ \alpha'}

Les villes de Paris et de Bourges sont distantes de 200 km et les angles mesurés sont respectivement \alpha = 42{,}4° et \alpha' = 40{,}6°.

Quel est le calcul correct donnant la longueur d'un méridien terrestre ?

L = \dfrac{180}{42{,}4 - 40{,}6} \times 200 = 2{,}00 \times 10^5 \text{ km}

L = \dfrac{360}{42{,}4 - 40{,}6} \times 200 = 4{,}00 \times 10^5 \text{ km}

L = \dfrac{360}{42{,}4 - 40{,}6} \times 200 = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{180}{42{,}4 - 40{,}6} \times 200 = 2{,}00 \times 10^4 \text{ km}

On donne la représentation du gnomon :

Quelle est la relation qui permet de calculer l'angle \alpha à partir de la taille du bâton L et de celle de l'ombre sur le sol l ?

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

On donne la figure illustrant les angles entre les verticales et les rayons du Soleil mesurés à Paris (P) et à Tavèrnoles (T') :

Quelle est alors la relation donnant l'angle \overset{\frown}{PTT'} ?

\overset{\frown}{PTT'}= \alpha - \alpha' + 180

\overset{\frown}{PTT'}= \alpha - \alpha'

\overset{\frown}{PTT'}= \alpha +\alpha' -90

\overset{\frown}{PTT'}= \alpha + \alpha' + 180

Les villes de Paris et de Bourges sont distantes de 767 km et les angles mesurés sont respectivement \alpha = 50{,}2° et \alpha' = 43{,}3°.

Quel est le calcul correct donnant la longueur d'un méridien terrestre ?

L = \dfrac{50{,}2 - 43{,}3}{360} \times 767 = 2{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{360}{50{,}2 - 43{,}3} \times 767 = 4{,}00 \times 10^4 \text{ m}

L = \dfrac{360}{50{,}2 - 43{,}3} \times 767 = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{50{,}2 - 43{,}3}{767} \times 360 = 2{,}00 \times 10^4 \text{ m}

On donne la représentation du gnomon :

Quelle est la relation qui permet de calculer l'angle \alpha à partir de la taille du bâton L et de celle de l'ombre sur le sol l ?

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

\text{sin}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{L}{l}

\text{tan}( \alpha) = \dfrac{l}{L}

On donne la figure illustrant les angles entre les verticales et les rayons du Soleil mesurés à Armentières ( A ) et à Perpignan ( P ) :

Quelle est alors la relation donnant l'angle \overset{\frown}{ATP} ?

\overset{\frown}{ATP}= \alpha - \alpha'

\overset{\frown}{ATP}= 90 - \alpha +\alpha'

\overset{\frown}{ATP}= \alpha + \alpha' - 180

\overset{\frown}{ATP}= \alpha - \alpha' + 90

Les villes de Paris et de Bourges sont distantes de 767 km et les angles mesurés sont respectivement \alpha = 50{,}2° et \alpha' = 43{,}3°.

Quel est le calcul correct donnant la longueur d'un méridien terrestre ?

L = \dfrac{54{,}20 - 46{,}75}{180} \times 828 = 1{,}50 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{360}{54{,}20 - 46{,}75} \times 828 = 4{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{180}{54{,}20 - 46{,}75} \times 828 = 2{,}00 \times 10^4 \text{ km}

L = \dfrac{360}{54{,}20 - 46{,}75} \times 828 = 3{,}50 \times 10^4 \text{ km}