Calculer une longueur par la méthode de triangulation utilisée par Delambre et Méchain Méthode

Sommaire

1Construire des triangles pour rejoindre les deux points 2Mesurer la longueur du côté (base) dans tous les triangles 3Déterminer la longueur du segment 4Répéter les étapes précédentes

On souhaite déterminer la longueur d'un segment [AB].

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Etape 1

Construire des triangles pour rejoindre les deux points

On construit autant de triangles que nécessaire pour rejoindre le point B à partir du point A .

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Etape 2

Mesurer la longueur du côté (base) dans tous les triangles

Dans chaque triangle, on mesure la longueur du côté qui sert de base et les deux angles du triangle qui s'appuient dessus.

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Dans le triangle ACM , si on a choisi comme base le côté AC, on mesure la longueur de celui-ci ainsi que les angles \widehat{A} et \widehat{C} .

Etape 3

Déterminer la longueur du segment

À l'aide des deux relations connues (somme des angles d'un triangle égale à 180° et loi des sinus), on détermine les longueurs :

  • Du segment qui joint le point servant d'origine et celui par lequel le segment dont on souhaite déterminer la longueur passe ;
  • Du côté qui servira de nouvelle base.
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Dans le triangle ACM  :

  • [AM] est le segment qui joint le point servant d'origine (A) et celui par lequel le segment [AB]  dont on souhaite déterminer la longueur passe (M) ;
  • Le segment [CD] servira de nouvelle base.

Il s'agit de déterminer les longueurs de ces segments.

Pour le segment [AM] :

Les mesures des angles \widehat{A}  et  \widehat{C}  permettent de calculer l'angle  \widehat{M}  :

 \widehat{M} = 180 – \widehat{A} – \widehat{C} 

La loi des sinus permet de calculer la longueur AM :

 AM = AC \times \dfrac{sin(\widehat{C})}{sin(\widehat{M})} 

Pour le segment [CD] :

De la même façon, la loi des sinus permet de calculer la longueur CD :

 CD = AC \times \dfrac{sin(\widehat{A})}{sin(\widehat{D})} 

Etape 4

Répéter les étapes précédentes

À partir de la nouvelle base, on réitère les étapes précédentes jusqu'à aboutir au point final, la longueur du segment à déterminer étant obtenue en additionnant les longueurs des segments intermédiaires.

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La longueur AB est obtenue en additionnant les quatre longueurs AM , MN , NR et RB  : AB = AM + MN + NR + RB .