La forme de la TerreCours

Comment a-t-on pu déterminer la sphéricité de la Terre ? Quels sont les moyens pour déterminer ses dimensions et calculer des distances à sa surface ?

I

Les méthodes pour déterminer la sphéricité de la Terre

A

L'évolution historique des méthodes

Dans la plupart des expériences quotidiennes, la Terre nous apparaît plate. À cause de la différence d'échelle entre sa taille et la nôtre, sa courbure n'est pas localement visible. Pourtant, dès l'Antiquité, des observations de différentes natures ont permis de conclure que la Terre était sphérique.

Aristote (384−322 av. J.-C.) est l'un des premiers à apporter des preuves que la Terre est sphérique. En se déplaçant du nord au sud, il a observé des modifications du ciel nocturne. Pendant les éclipses de Lune, il a remarqué que les bords de l'ombre portée de la Terre sont des arcs de cercle. 

Aristote

Aristote

fr.wikipedia.org/wiki/Aristote

La Lune dans le cône d'ombre de la Terre

La Lune dans le cône d'ombre de la Terre

D'autres philosophes grecs de l'Antiquité ont remarqué que lorsqu'un navire s'éloigne au large, sa coque disparaît avant son mât. Comme la lumière se propage de façon rectiligne, si la distance entre le navire et l'observateur est de l'ordre de la dizaine de kilomètres, la courbure de la Terre empêche l'observateur de voir la coque du navire mais son mât et ses voiles restent visibles.

Disparition de la coque d'un navire observé de loin

Disparition de la coque d'un navire observé de loin

Depuis, les observations de la Terre depuis l'espace ont confirmé sa sphéricité.

La Terre vue depuis l'espace

La Terre vue depuis l'espace

La Terre n'est pas une sphère parfaite, elle est notamment aplatie au niveau de ses pôles.

B

La mesure d'un méridien et du rayon terrestre par Ératosthène

Ératosthène (276−194 av. J.-C.) est le premier à réussir à déterminer la longueur d'un méridien et du rayon de la Terre.

Ératosthène

Ératosthène

fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ratosth%C3%A8ne

Ératosthène avait entendu des voyageurs raconter qu'à Syène (Assouan), le 21 juin (jour du solstice d'été) à midi, on pouvait voir l'image du Soleil se refléter au fond d'un puits. Il en déduisit qu'à cette date et à cette heure, le Soleil était alors exactement à la verticale du puits.

-

Il profita alors qu'à Alexandrie, un obélisque projetait son ombre sur le sol pour déterminer, par un calcul de géométrie simple, que l'angle entre la direction pointant vers le Soleil et la verticale (droite perpendiculaire au sol passant par le centre de la Terre), le 21 juin à la même heure, était de 7,2°.

-

En faisant l'hypothèse que les rayons du Soleil sont parallèles entre eux (le Soleil étant assez éloigné de la Terre) et les angles alternes-internes étant égaux, il détermina alors que l'angle entre l'obélisque et le puits, ayant tous deux pour sommet le centre de la Terre, est de 7,2°.

-

Sachant que la distance Syène-Alexandrie est de 787,5 km (soit 5 000 stades, unité de longueur de l'époque, un stade étant équivalent à 157,5 m), il calcula la longueur d'un méridien terrestre par proportionnalité.

Puisque l'angle de 7,2° sépare deux points éloignés par une longueur de 787,5 km, la longueur d'un méridien, délimité par un angle de 360° est :  \dfrac{360}{7,2} \times 787,5 = 39 375  km.

-
-

La longueur d'un méridien terrestre correspond à la circonférence de la Terre. Sachant que la circonférence d'une sphère de rayon R est P = 2 \times \pi \times R , Ératosthène déduisit aussi le rayon terrestre.

Puisque 2 \pi \times R_T = 39 375 km, le rayon de la terre est : R_T = \dfrac{39 375}{2 \times \pi } = 6 270 km.

Les valeurs déterminées par Ératosthène sont assez proches de celles admises aujourd'hui : 

  • 39 375 km au lieu de 40 003 km pour la longueur d'un méridien ;
  • 6 270 km au lieu de 6 370 km pour le rayon terrestre.

La principale source d'erreur est qu'Alexandrie et Syène ne sont pas exactement sur le même méridien.

C

La mesure d'un méridien par triangulation

À partir du XIe siècle, avec le développement des connaissances en trigonométrie, on commence à pouvoir mesurer des distances par triangulation.

1

Le principe de triangulation

La triangulation consiste à déterminer une longueur inaccessible à la mesure en l'enfermant dans une chaîne de triangles. Des mesures d'angles et la mesure de la longueur d'un seul côté, la base, permettent de déterminer toutes les autres longueurs, sachant que dans un triangle :

  •     la somme des angles est égale à 180° ;
  •     les longueurs des côtés et les angles sont liés par la loi des sinus :  \dfrac{a}{\text{sin} \widehat{A}} = \dfrac{b}{\text{sin} \widehat{B}} = \dfrac{c}{\text{sin} \widehat{C}} .
Triangle quelconque
Triangle quelconque
2

La mesure d'un méridien par Delambre et Méchain

En 1790, le mètre est défini comme étant la dix millionième partie du quart du méridien terrestre. Mais cette longueur n'étant pas connue avec précision, on confie à deux astronomes et mathématiciens, Pierre Méchain (1744−1844) et Jean-Baptiste Delambre (1749−1822), la mission de la mesurer.

Pierre Méchain
Pierre Méchain

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre_mechain.jpg

Jean-baptiste Delambre
Jean-baptiste Delambre

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fichier:Jean-baptiste_delambre.jpg

Ainsi, entre 1792 et 1798, ces deux astronomes déterminent par triangulation la distance séparant Dunkerque et Barcelone en reliant ces villes par 90 triangles et en effectuant environ 500 000 mesures d'angles, à l'aide d'instruments de visée tel que le cercle répétiteur.

-
Cercle répétiteur utilisé pour mesurer les angles
Cercle répétiteur utilisé pour mesurer les angles

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:CD−1.47-Cercle_Borda.jpg

À partir de la distance Dunkerque – Barcelone ainsi mesurée et de l'arc de méridien entre ces deux villes, ils purent déterminer la longueur d'un que la longueur d'un méridien, exprimé en toise, unité de l'époque est 7,796 \times 10^7   toises.

Le mètre ayant étant défini comme la dix millionième partie du quart du méridien terrestre, ils purent établir la correspondance entre toise et mètre :

1 m = \dfrac{7,796 \times 10^7}{40 000 000} = 1,949  toises

Grâce à cette correspondance, la longueur d'un méridien est bien de 40 000 km.

Bien que la mesure de Delambre et Méchain ne fut pas facile (ils y sacrifièrent 6 ans de leur vue, Méchain y perdit même une partie de la raison), une mesure de la distance Dunkerque – Barcelone réalisée par satellite en 1980 montra un écart de seulement 10 mètres, soit moins de 0,001% avec leur valeur.

II

 Se repérer à la surface de la Terre

Aujourd'hui, tous les points à la surface de la Terre sont repérés par leur latitude et leur longitude, ce qui permet de calculer les distances qui les séparent.

A

Parallèles et méridiens

On peut repérer un point à la surface de la Terre à l'aide de deux lignes imaginaires :

  • les parallèles, cercles parallèles à l'équateur ;
  • les méridiens, cercles joignant les deux pôles.
-

C'est le méridien passant par la ville de Greenwich, en Grande-Bretagne, qui a été choisi comme origine des méridiens.

B

Longitude et latitude

On peut repérer un point à la surface de la Terre à l'aide de deux coordonnées angulaires :

  • La longitude \theta , angle qui sépare le méridien sur lequel est situé le point et le méridien d'origine de Greenwich et qui peut varier vers l'est (E) ou l'ouest (O).
  • La latitude λ, angle qui sépare le parallèle sur lequel est situé le point et le parallèle d'origine, l'Équateur qui peut varier vers le nord (N) ou vers le sud (S).
Longitude selon le méridien

Longitude selon le méridien

La longitude du point P est  \theta =15° .

-
Latitude selon le parallèle

Latitude selon le parallèle

La latitude du point P est  \lambda = 30° .

-

Le Caire, ville d'Égypte, a pour coordonnées : 40°E de longitude et 30°N de latitude.

-
C

Déterminer une distance sur la surface terrestre

Les latitudes et longitudes de deux villes, exprimées en radians, permettent de calculer la distance la plus courte qui les sépare.

Pour convertir un angle exprimé en degrés (°) en radians (rad), on utilise la règle de conversion suivante :

2 \pi \text{ rad} = 360 °

Un angle de 15° correspond à \dfrac{15 \times 2 \pi}{360} = 0,26\text{ rad}.

1

Entre deux points de même longitude

Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre ayant la même longitude est l'arc du méridien qui les relie. Sa longueur peut être déterminée à partir du rayon terrestre et des latitudes des points.

Longueur de l'arc de méridien

La longueur de l'arc de méridien entre deux points A, de latitude plus élevée, et B de même longitude \theta  est donnée par les relations  :

  • d_{AB} = R_T \times (\lambda_A - \lambda_B) si les points sont dans le même hémisphère (Nord ou Sud) ;
  • d_{AB} = R_T \times (\lambda_A + \lambda_B) si les points ne sont pas dans le même hémisphère (et donc de part et d'autre de l'équateur).
-

Où :

  • R_T est le rayon de la Terre, R_T = \text{6 370 km}  ;
  • \lambda_A et \lambda_B sont les latitudes des points A et B, exprimées en radians.
2

Entre deux points de même latitude

Le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre ayant la même latitude est l'arc de parallèle qui les relie. Sa longueur peut être déterminée à partir du rayon terrestre et des longitudes des points.

Longueur d'arc de parallèle 

La longueur de l'arc de parallèle entre deux points A, de longitude plus élevée, et B de même latitude λ est donnée par les relations :

  • d_{AB} = R_T \times cos λ \times (\theta_A - \theta_B) si les points sont du même côté par rapport au méridien de Greenwich (vers l'est ou vers l'ouest) ;
  • d_{AB} = R_T \times cos λ \times (\theta_A + \theta_B) si les points sont de part et d'autre du méridien de Greenwich.
-

Où :

  • R_T est le rayon de la Terre, R_T = \text{6 370 km}  ;
  • \lambda est la latitude commune des points A et B.
  • \theta_A et \theta_B sont les longitudes des points A et B , exprimées en radians.