On définit la fonction f par :
f(x) =\sqrt{x^2-3}(-2x+1)^2
On donne le tableau de convergence de la fonction f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) ?
(1) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow \sqrt{x^2-3} .
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^2-3 = + \infty en tant que fonction polynômiale.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limites, on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x^2-3} = +\infty.
On remplace (1) par +\infty .
(2) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow (-2x+1)^2 .
Cette fonction est définie en tant que fonction carré composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -2x+1 = - \infty en tant que fonction affine décroissante.
- La fonction carré est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} x^2 = +\infty.
Par composition de limites, on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} (-2x+1)^2 = +\infty.
On remplace (2) par +\infty .
(3) : La fonction f est définie en tant que produit de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x tend vers +\infty.
Il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) = +\infty
On remplace (3) par +\infty .
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty .
On remplace (2) par +\infty .
On remplace (3) par +\infty .
On définit la fonction f par :
f(x) =\sqrt{2x+1}\left(1+\dfrac{1}{2x^2-1}\right)
On donne le tableau de convergence de la fonction f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) ?
(1) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow \sqrt{2x+1} .
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 2x+1 = + \infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{2x+1} = +\infty.
On remplace (1) par +\infty .
(2) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow 1+\dfrac{1}{2x^2-1} .
Cette fonction est définie en tant que somme d'une fonction constante et d'une fonction inverse composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 2x^2-1 = + \infty en tant que fonction polynômiale.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} = 0^+.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{2x^2-1} = 0^+.
Par somme de limites : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 1 + \dfrac{1}{2x^2-1} = 1
On remplace (2) par 1.
(3) : La fonction f est définie en tant que produit d'une fonction qui tend vers +\infty et d'une fonction qui tend vers un réel positif quand x tend vers +\infty. Il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) = +\infty
On remplace (3) par +\infty .
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty .
On remplace (2) par 1.
On remplace (3) par +\infty .
On définit la fonction f par :
f(x) =(2x+1)^3\left(\dfrac{1}{3x+5}-1\right)
On donne le tableau de convergence de la fonction f en -\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) ?
(1) : On étudie la limite en -\infty de la fonction définie par x \rightarrow (2x+1)^3 .
Cette fonction est définie en tant que fonction cube composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 2x+1 = - \infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction cube est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}x^3 = -\infty.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} (2x+1)^3 = -\infty.
On remplace (1) par -\infty .
(2) : On étudie la limite en -\infty de la fonction définie par x \rightarrow \dfrac{1}{3x+5}-1 .
Cette fonction est définie en tant que somme d'une fonction constante et d'une fonction inverse composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} 3x+5 = - \infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction inverse est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} \dfrac{1}{x} = 0^-.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} \dfrac{1}{3x+5} = 0^-.
Par somme de limites : \lim\limits_{x\rightarrow - \infty} \dfrac{1}{3x+5}-1 = -1
On remplace (2) par -1.
(3) : La fonction f est définie en tant que produit d'une fonction qui tend vers -\infty et d'une fonction qui tend vers un réel négatif quand x tend vers -\infty. Il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} f(x) = +\infty
On remplace (3) par +\infty .
Ainsi :
On remplace (1) par -\infty .
On remplace (2) par -1.
On remplace (3) par +\infty .
On définit la fonction f par :
f(x) =\ln(2x+2) (3x+1)
On donne le tableau de convergence de la fonction f en -1^+.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) ?
(1) : On étudie la limite en -1^+ de la fonction définie par x \rightarrow \ln(2x+2) .
Cette fonction est définie en tant que fonction logarithme composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow -1^+} 2x+2 = 0^+ en tant que fonction affine croissante.
- La fonction logarithme est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\ln(x) = -\infty.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow -1^+} \ln(2x+2) = -\infty.
On remplace (1) par -\infty .
(3) : La fonction f est définie en tant que produit d'une fonction qui tend vers -\infty et d'une fonction qui tend vers un réel négatif quand x tend vers -1^+. Il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} f(x) = +\infty
On remplace (3) par +\infty .
Ainsi :
On remplace (1) par -\infty .
On remplace (2) par +\infty .
On définit la fonction f par :
f(x) =\exp(2x+1) \sqrt{\dfrac{2}{x}}
On donne le tableau de convergence de la fonction f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) dans ce tableau ?
(1) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow \exp(2x+1) .
Cette fonction est définie en tant que fonction exponentielle composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2x+1 = +\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction exponentielle est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\exp(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(2x+1) = +\infty.
On remplace (1) par +\infty .
(2) : On étudie la limite en +\infty de la fonction définie par x \rightarrow \sqrt{\dfrac{2}{x}} .
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{2}{x} = 0^+ en tant que fonction inverse.
- La fonction racine est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\sqrt(x) = 0^+.
Par composition de limites, on a : \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{\dfrac{2}{x}} = 0^+.
On remplace (2) par 0^+.
(3) : La fonction f est définie en tant que produit d'une fonction qui tend vers +\infty et d'une fonction qui tend vers 0^+ quand x tend vers +\infty. Il y a donc une forme indéterminée :
On remplace (3) par FI.
Pour lever la forme indéterminée, on utilise ici la croissance comparée de la fonction exponentielle : d'après ce théorème, la fonction exponentielle domine les fonctions puissances de x, donc \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty .
On remplace (2) par 0^+.
On remplace (3) par FI.