Notion de limite de fonction
Une fonction peut avoir plusieurs limites dans différents cas, différents comportements sont possibles à chaque limite.
La limite d'une fonction en +\infty
On considère une fonction définie sur un intervalle ] \alpha ; +\infty[, où \alpha est nombre réel ou -\infty.
Lorsque la variable de la fonction prend des valeurs "très grandes", le comportement de la fonction peut être de plusieurs types.
Limite finie en +\infty
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur ] \alpha ; +\infty[ .
On dit que la fonction f tend vers un réel \ell lorsque x tend vers +\infty si f(x) est aussi proche que l'on veut de \ell lorsque x est suffisamment grand.
Lorsqu'une fonction f tend vers un réel \ell lorsque x tend vers +\infty, on note :
\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell
On considère la fonction f : x\longmapsto 5+ \dfrac{1}{x} définie sur ]0;+\infty[ dont on donne un tableau de valeurs ci-dessous.
On observe que les images f(x) prennent des valeurs aussi proches de 5 que l'on veut quand x prend des valeurs assez grandes.
On conjecture que la limite de f(x) quand x tend vers +\infty est égale à 5.
On note \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=5.
Interprétation graphique de \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= \ell
Lorsqu'une fonction f tend vers un réel \ell en +\infty, alors la droite horizontale d'équation y=\ell est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} (5+\dfrac{1}{x})=5 donc la droite d'équation y=5 est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +\infty.
Cela signifie que la distance entre la droite et la courbe tend vers 0 lorsque x tend vers +\infty.
Comportement de f en +\infty
Limite +\infty en +\infty
Soit une fonction f de la variable réelle x définie sur ] \alpha ; +\infty[.
On dit que la fonction tend vers +\infty en +\infty quand les valeurs de f(x) sont aussi grandes que l'on veut lorsque x est suffisamment grand.
Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty, on note :
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty
La fonction f:x\longmapsto x^{4} définie sur \mathbb{R} prend des valeurs aussi grandes que l'on veut lorsque x est suffisamment grand.
Par exemple, on lit graphiquement que :
- x^{4} \gt 3\ 000 si on choisit x \gt 14 ;
- x^{4} \gt 10\ 000 si on choisit x \gt 18 ;
- etc.
f tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty.
On note \lim\limits_{x \to +\infty} x^{4} = +\infty.
Représentation de la fonction f:x\longmapsto x^{4}
Limite -\infty en +\infty
Soit une fonction f de la variable réelle x définie sur ] \alpha ; +\infty[ .
On dit que la fonction tend vers -\infty en +\infty si les valeurs de f(x) sont aussi petites que l'on veut lorsque x est suffisamment grand.
Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers +\infty, on note :
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty
La fonction définie sur \mathbb{R} par f: x\longmapsto -x^{3} prend des valeurs aussi petites (négatives et de très grandes valeurs absolues) dès que x est suffisamment grand.
Comportement de f: x\longmapsto -x^{3} en -\infty
On note \lim\limits_{x \to +\infty} (-x^{3})=-\infty.
Une fonction n'admet pas forcément de limite en +\infty.
La fonction définie sur \mathbb{R} par f: x\longmapsto x\ \sin\left(x\right) représentée ci-dessous n'admet pas de limite en +\infty.
La limite d'une fonction en -\infty
On considère une fonction définie sur un intervalle ]-\infty ; \alpha[ où \alpha est un nombre réel ou +\infty .
Lorsque la variable de la fonction prend des valeurs "très basses" (négative et très grande en valeur absolue), le comportement de la fonction peut être de plusieurs types.
Limite finie en -\infty
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur un intervalle ]-\infty ; \alpha[.
On dit que la fonction f tend vers un réel \ell lorsque x tend vers -\infty si les valeurs de f(x) sont aussi proches de \ell que l'on veut quand x est suffisamment petit.
Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers -\infty, on note :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\ell
La fonction f: x\longmapsto 5+\dfrac{1}{x^2} est définie sur ]-\infty ; 0[. On donne ci-dessous un tableau de valeurs de cette fonction.
On observe que plus x prend des valeurs petites, plus f(x) prend des valeurs proches de 5.
On note : \lim\limits_{x\to -\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5.
Interprétation graphique de \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\ell
Lorsqu'une fonction f tend vers un réel \ell lorsque x tend vers -\infty, alors la droite d'équation y=\ell est asymptote à la courbe de f au voisinage de -\infty.
\lim\limits_{x\to -\infty}\left(5+\frac{1}{x^2}\right)=5, donc la droite d'équation y=5 est asymptote à la courbe de la fonction f:x\mapsto 5+\frac{1}{x^2} au voisinage de -\infty.
Cela signifie que la distance entre la courbe représentative de f et la droite d'équation y=5 tend vers 0 quand x tend vers -\infty.
Limite +\infty en -\infty
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur ] -\infty ; \alpha [
On dit que la fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers -\infty si f(x) prend des valeurs aussi grandes que l'on veut quand x est suffisamment petit.
Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers -\infty, on note :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty
La fonction f:x\longmapsto x^{4} définie sur \mathbb{R} prend des valeurs aussi grandes que l'on veut lorsque x est suffisamment petit.
On note \lim\limits_{x \to -\infty} x^{4} = +\infty.
Limite -\infty en -\infty
Soit f une fonction de la variable réelle x.
On dit que la fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers -\infty si f(x) prend des valeurs aussi petites que l'on veut quand x est suffisamment petit.
Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers -\infty, on note :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty
\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^5\right)=-\infty
Une fonction n'admet pas forcément de limite en -\infty.
La fonction f:x\mapsto x\times \sin(x) n'admet pas de limite en -\infty.
La limite d'une fonction en un point
Soit une fonction définie sur un intervalle I .
Soit a un nombre réel appartenant à I , ou une borne de I .
Lorsque la variable de la fonction devient proche de a , le comportement de la fonction peut être de plusieurs types, notamment lorsque a est une valeur interdite de la fonction.
Limite +\infty en a
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur I.
On dit que la fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi grandes que l'on veut pour x suffisamment proche de a.
Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty lorsque x tend vers a, on note :
\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty
La fonction f définie sur ]-\infty ; 0[ par f:x\longmapsto \dfrac{1}{x^2} prend des valeurs très grandes lorsque x s'approche de 0 .
On note : \lim\limits_{x\to 0}f(x)=+\infty
Comme x s'approche de 0 par valeurs inférieures, on peut aussi noter \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x)=+\infty.
Limite -\infty en a
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur I.
On dit que la fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi petites que l'on veut lorsque x est suffisamment proche de a.
Lorsqu'une fonction f tend vers -\infty lorsque x tend vers a, on note :
\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty
On considère la fonction f définie sur ]1; +\infty[ par f(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}.
Les valeurs de f(x) sont aussi petites que l'on veut quand x est suffisamment proche de 1.
On note : \lim\limits_{x\to 1}f(x)=-\infty.
Ici, x tend vers 1 en lui étant supérieur donc on pourra également écrire \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=-\infty.
Interprétation géométrique de \lim\limits_{x \to a} f(x) =+\infty ou \lim\limits_{x \to a} f(x) =-\infty
Lorsqu'une fonction f tend vers +\infty ou -\infty lorsque x tend vers un réel a, alors la droite verticale d'équation x=a est asymptote à la courbe de f.
La fonction f:x\longmapsto -\dfrac{1}{(x-1)^2} est définie sur \mathbb{R^{*}} .
On a \lim\limits_{x \to 1} -\dfrac{1}{(x-1)^2} =-\infty, donc la droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe de la fonction f.
Il existe des cas importants de fonctions où les limites « à gauche » et « à droite » en un réel a sont différentes.
Notons f la fonction inverse est définie sur ]-\infty ; 0[\ \cup\ ]0; +\infty[.
La limite de f(x) quand x tend vers 0 sur l'intervalle ]-\infty ; 0[, donc à gauche de 0 est -\infty.
On note : \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty.
La limite de f(x) quand x tend vers 0 sur l'intervalle ]0; +\infty [, donc à droite de 0 est +\infty.
On note : \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=+\infty.
La droite x=0 est asymptote à la courbe représentative de f.
Comportement de la fonction inverse au voisinage de 0
Limite \ell en a
Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur I, et a un réel de I.
On dit que la fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers a si f(x) prend des valeurs aussi proche de \ell que l'on veut pourvu que x soit suffisamment proche de a.
Lorsqu'une fonction f tend vers \ell lorsque x tend vers a, on note :
\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell
La fonction exponentielle atteint des valeurs de plus en plus proches de 1 lorsqu'on fait tendre la variable x vers 0.
On note \lim\limits_{x \to 0} \exp\left(x\right) =1.
Il existe des fonctions où les limites réelles « à gauche » et « à droite » d'un réel a sont différentes.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} représentée ci-dessous.
La courbe représentant f présente une rupture ou une « discontinuité ».
- Quand on s'approche de 1 « à gauche » donc par valeurs inférieures, f(x) tend vers 1.
Pour cette limite « à gauche » de la fonction f en un réel a, on note \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) =1.
- Quand on s'approche de 1 « à droite » donc par valeurs supérieures, f(x) tend vers 1,5.
Pour la limite « à droite » de la fonction f, on note \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) =1{,}5.
Continuité d'une fonction en un point a
Soit f est une fonction définie sur un intervalle I et a \in I.
f est continue au point a signifie que lorsque x s'approche de la valeur a, f(x) s'approche de f(a) :
\lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)
On dit aussi que f est continue en a.
La fonction exponentielle est définie sur \mathbb{R}.
On a :
- \exp\left(0\right)=1
- \lim\limits_{x \to 0}\exp\left(x\right) =1
Ainsi : \lim\limits_{x \to 0}\exp\left(x\right) =\exp\left(0\right) : la fonction exponentielle est continue en 0.
Continuité d'une fonction sur un intervalle
f est une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point a appartenant à I.
Graphiquement, une fonction définie et continue sur un intervalle I est représentée par une courbe où il n'y a pas de rupture : on peut la tracer sans lever le crayon.
La fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x^2-x et représentée à gauche est continue sur \mathbb{R}.
La fonction g définie sur \mathbb{R} et représentée à droite n'est pas continue en 2 : en effet \lim\limits_{x \to 2^{+}} g(x) =3\neq g(2).
Exemples de fonctions continues ou discontinues sur \mathbb{R}
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a\in I.
On admet que :
Si f est dérivable sur I, alors f est continue en tout réel a appartenant à I.
Si f est dérivable en a, alors f est continue sur a.
La fonction f définie sur \mathbb{R} par f: x\longmapsto x^2-x+1 est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.
On en déduit que f est continue sur \mathbb{R}.
Ainsi : pour tout nombre réel a, \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a).
En particulier, \lim\limits_{x \to 2} f(x)=f(2)=2^2-2+1=3.
Limite des fonctions usuelles
Pour être capable de déterminer des limites de fonctions, il faut connaître les limites des fonctions usuelles.
Limites des fonctions affines
Soit f:x\mapsto ax+b une fonction affine définie sur \mathbb{R}.
- Si a>0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.
- Si a<0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
- Si a=0, alors \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b.
Soit f la fonction affine x\mapsto 3x-7.
f(x) est du type ax+b avec a=3.
Comme a=3 \gt 0, on a :
\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
Les fonctions affines sont continues sur \mathbb{R}.
La fonction affine f: x\longmapsto -5x+5 est définie et continue sur \mathbb{R}.
En particulier, elle est continue en 3 : \lim\limits_{x \to 3} (-5x+5)=f(3)=-5\times3+5=-10.
Limites de la fonction carré
La fonction carré f:x\longmapsto x^2 est définie sur \mathbb{R}.
La fonction carré étant paire, elle a le même comportement quand x tend vers +\infty et quand x tend vers -\infty :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\\ \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty
Fonction carré
La parabole qui représente la fonction carré n'admet pas de droite asymptote.
La fonction carré est continue sur \mathbb{R} : pour tout réel a, \lim\limits_{x \to a} x^2=a^2.
\lim\limits_{x \to -1} x^2=(-1)^2=1
Limites de la fonction cube
La fonction cube f:x\longmapsto x^{3} est définie sur \mathbb{R} . On doit connaître ses limites en + \infty et en - \infty .
- \lim\limits_{x\to -\infty}x^{3}=-\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}x^{3}=+\infty
La courbe représentative de la fonction cube n'admet pas de droite asymptote.
La fonction cube est continue sur \mathbb{R}.
Pour tout réel a : \lim\limits_{x \to a} x^{3} =a^{3}.
\lim\limits_{x \to -2} x^{3}=(-2)^{3}=-8
Limites de la fonction racine carrée
La fonction racine carrée f : x\longmapsto \sqrt{x} est définie sur [0 ; +\infty[ .
- \lim\limits_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty
La courbe représentative de la fonction racine carrée n'admet pas de droite asymptote.
La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +\infty[.
On a pour tout réel positif a, \lim\limits_{x \to a} \sqrt{x}=\sqrt{a}.
\lim\limits_{x \to 4} \sqrt{x}=\sqrt{4}=2
Limites de la fonction inverse
La fonction inverse f: x\longmapsto \dfrac{1}{x} est définie sur ]-\infty ; 0 [\ \cup\ ] 0; +\infty[ . Le comportement aux bornes de son ensemble de définition est à connaître.
- \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{x}=0
- \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0
La courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des abscisses, c'est-à-dire la droite d'équation y=0 comme asymptote au voisinage de +\infty et de -\infty.
- \lim\limits_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x}=-\infty
- \lim\limits_{x\to 0^{+}} \dfrac{1}{x}=+\infty
La courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des ordonnées x=0 comme asymptote verticale.
Comportement de la fonction inverse aux bornes du domaine de définition
La fonction inverse est continue en tout point de son domaine de définition :
Pour tout réel a\neq 0, \lim\limits_{x \to a} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{a}.
\lim\limits_{x \to \dfrac{1}{5}}\ \dfrac{1}{x}=\dfrac {1}{ \dfrac{1}{5}} =5
Limites de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle f: x\longmapsto \exp\left(x\right) est définie sur \mathbb{R} .
- \lim\limits_{x\to -\infty} \exp\left(x\right)=0
- \lim\limits_{x\to +\infty} \exp\left(x\right)=+\infty
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet l'axe des abscisses comme asymptote au voisinage de -\infty.
La fonction exponentielle est continue en tout point de son domaine de définition.
Pour tout réel a, \lim\limits_{x \to a} \exp\left(x\right)=\exp\left(a\right).
\lim\limits_{x \to 2} \exp\left(x\right)=\exp\left(2\right)
Limites de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien f : x\longmapsto \ln\left(x\right) est définie sur ]0 ; +\infty[ . On doit connaître les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition.
\lim\limits_{x \to 0^{+}}\ln\left(x\right) = - \infty \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty}\ln\left(x\right) =+\infty
La courbe représentative de la fonction \ln admet l'axe des ordonnées, soit la droite d'équation x=0 comme asymptote verticale.
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
La fonction \ln est continue sur ]0;+\infty[ : pour tout réel strictement positif a, \lim\limits_{x \to a} \ln\left(x\right) =\ln\left(a\right).
\lim\limits_{x \to 2} \ln\left(x\right)=\ln\left(2\right)
Les opérations de limites
La plupart des fonctions qui servent en modélisation mathématique ne sont pas des fonctions usuelles, mais elles peuvent être composées de plusieurs fonctions usuelles réunies par des opérations de base.
Forme indéterminée
On appelle « forme indéterminée » et on note FI une forme pour laquelle la connaissance des limites et de l'opération ne suffit pas pour conclure.
Les limites d'une somme
Une fonction peut être la somme de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.
Soient f et g deux fonctions réelles.
L et L' désignent deux réels.
\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant :
- La fonction carré est continue en 0 donc \lim\limits_{x \to 0} x^2=0^2=(-0)^2=0
- \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x}=+\infty
Donc, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0^{+}}(\dfrac{1}{x} -x^2)=+\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^x=+\infty
Donc, par somme, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x+\text{e}^x\right)=+\infty
Les limites d'un produit
Une fonction peut être le produit de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.
Soient f et g deux fonctions réelles.
L et L' désignent deux réels.
\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant :
- \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x\right)=+\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^x=+\infty
Donc, par produit, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x\text{e}^x\right)=+\infty
- \lim\limits_{x \to 0} (x^2+1) =0^2+1=1
- \lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x}=-\infty
- \lim\limits_{x \to 0} (-2)=-2
Donc, par produit, on obtient :
\lim\limits_{x \to 0^{-}} -2(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}=+\infty
Les limites d'un quotient
Une fonction peut être le quotient de deux (ou plus) fonctions. Dans de nombreux cas, l'étude des limites des deux fonctions la composant permet d'obtenir la limite cherchée de la fonction de départ.
Soient f et g deux fonctions réelles.
L et L' désignent deux réels.
\alpha désigne un nombre réel, -\infty ou +\infty.
On a alors le tableau suivant :
- \lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^2\right)=+\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1
Donc, par quotient, on obtient :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{1+\frac{1}{x^2}}=+\infty
- \lim\limits_{x \to 0} x^{2} =0
- \lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln\left(x\right)=-\infty
Donc, par quotient, on obtient :
\lim\limits_{x \to 0^{+}}\dfrac{x^{2}}{\ln\left(x\right)}=0
Théorème des valeurs intermédiaires
Les théorèmes et propriétés énoncés ci-dessous permettent de trouver le nombre de solutions d'une équation de type f(x)=k lorsque f est une fonction continue.
Théorème des valeurs intermédiaires
f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a et b deux nombres réels appartenant à I tels que a \lt b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre réel c appartenant à [a;b] tel que f(c)=k.
On considère la fonction f : x\longmapsto \dfrac{x^{3}}{20}-\dfrac{x}{2}+1 définie et continue sur \mathbb{R}.
On veut résoudre l'équation f(x)=0{,}6 sur l'intervalle [-4 ;4].
f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur \mathbb{R}. On en déduit qu'elle est continue sur \mathbb{R}.
On a donc :
- f continue sur \mathbb{R} ;
- f(-4)=\dfrac{(-4)^{3}}{20}+\dfrac{4}{2}+1=-0{,}2
- f(4)=\dfrac{4^{3}}{20}-\dfrac{4}{2}+1=2{,}2
- 0{,}6 est compris entre -0{,}2 et 2{,}2.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un nombre réel c appartenant à [-4 ;4] tel que f(c)=0{,}6.
Ainsi l'équation f(x)=0{,}6 admet au moins une solution sur cet intervalle.
Interprétation graphique
On a représenté la fonction f dans un repère orthonormé.
Résolution graphique de f(x)=k
On observe que f prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) au moins une fois car elle est continue sur [a ; b].
Sur cet exemple particulier, la courbe C_{f} et la droite d'équation y=k ont trois points d'intersection d'abscisses appartenant à [a ; b] : c_{1}, c_{2}, et c_{3} donc l'équation f(x)=k admet trois solutions.
Les conclusions du théorème sont fausses si la fonction n'est pas continue sur l'intervalle d'étude. On prendra donc soin de vérifier que la fonction est continue.
On a représenté ci-dessous une fonction définie sur \mathbb{R} et qui n'est pas continue en 2.
On a :
- f(1)=1 ;
- f(3)=4 ;
- 2,5 est compris entre f(1) et f(4).
L'équation f(x)=2{,}5 n'admet pourtant pas de solution sur [1;3].
Cas des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle
f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b].
De plus, f est strictement monotone sur [a;b].
Alors pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique nombre c appartenant à [a;b] tel que f(c)=k.
La fonction g: x\longmapsto x^{3}-3x+2 est définie sur [-1;1].
On admet qu'elle est dérivable et strictement décroissante sur cet intervalle.
On cherche les solutions de l'équation g(x)=1 sur [-1;1].
On a :
- g est dérivable sur [-1;1] donc elle est continue sur [-1;1] ;
- g est strictement décroissante sur [-1;1] ;
- g(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)+2=4 ;
- g(1)=1^{3}-3\times1+2=0 ;
- 1 est compris entre 0 et 4.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation g(x)=1 admet une unique solution c sur [-1;1].
Interprétation graphique
Résolution graphique de g(x)=1
La fonction g est continue sur [-1;1] donc elle prend toutes les valeurs comprises entre g(-1) et g(1).
De plus, comme elle est strictement monotone sur cet intervalle, elle prend chacune des valeurs entre g(-1) et g(1) une seule et unique fois.
Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire permettent de prouver l'existence de solutions de l'équation f(x)=k et un encadrement des solutions ; toutefois il ne permet pas de trouver la valeur exacte de ces solutions.