Soit la fonction f définie par f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x-4}}.
Quel est l'ensemble de définition de f ?
La fonction x\longmapsto\sqrt{3x-4} est définie pour tout x tel que 3x-4\geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{4}{3}.
La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{3x-4}} est définie sur \left] \dfrac{4}{3} ; +\infty \right[.
Finalement, la fonction \left] \dfrac{4}{3} ; +\infty \right[ est définie sur \left] \dfrac{4}{3} ; +\infty \right[.
Quel est l'ensemble de dérivation de f ?
La fonction x\longmapsto\dfrac{1}{X} est dérivable sur \mathbb{R}^*.
La fonction x\longmapsto\sqrt x est dérivable sur \mathbb{R}_+^*.
Donc la fonction x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{3x-4}} est dérivable sur \left] \dfrac{4}{3} ; +\infty \right[.
Finalement, la fonction f est dérivable sur \left] \dfrac{4}{3} ; +\infty \right[.
Quelle est l'expression de la dérivée f' de f ?
La fonction f est de la forme \dfrac{1}{u} avec u la fonction telle que \forall x \in ]\frac{4}{3} ; +\infty[, u(x) = \sqrt{3x-4}.
Or, u est de la forme \sqrt{v} où v est la fonction telle que \forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, v(x) = 3x-4.
D'après le cours, on a :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}
Or, \forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, u'(x) = \dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}.
On a donc :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{v'(x)}{2\sqrt{v(x)}}\times \dfrac{1}{u^2(x)}
Or, on a :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, v'(x) = 3
D'où :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{3}{2\sqrt{3x-4}} \times \dfrac{1}{ \sqrt{3x-4} ^2}\\\Leftrightarrow \forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{3}{2\sqrt{3x-4}\times(3x-4)}\\\Leftrightarrow \forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{3\sqrt{3x-4}}{2(3x-4)^2}\\
Finalement, l'expression de f' est \forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{3\sqrt{3x-4}}{2(3x-4)^2}\\.
Quel est le tableau de variations de f ?
Pour établir le tableau de variations de f, il faut d'abord étudier le signe de f'.
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) = -\dfrac{3\sqrt{3x-4}}{2(3x-4)^2}\\
Or :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[,-\dfrac{3}{2(3x-4)^2} \lt0
Donc le signe de f' dépend du signe de \sqrt{3x-4}.
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, \sqrt{3x-4} \gt0
On peut donc déduire que :
\forall x \in ]\dfrac{4}{3} ; +\infty[, f'(x) \lt 0
Une fonction étant décroissante sur un intervalle I quand sa dérivée est négative sur I, on trouve le tableau de variations suivant :
Quelles sont les valeurs de \lim\limits_{x \to \dfrac{4}{3}^+}f(x) et \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) ?
- Calcul de \lim\limits_{x \to \dfrac{4}{3}^+}f(x) :
On a :
\lim\limits_{X \to 0^+}\sqrt{X} = 0
D'où :
\lim\limits_{x \to \dfrac{4}{3}^+} \sqrt{3x-4} = 0
De plus :
\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{1}{X} = +\infty
On peut donc en déduire :
\lim\limits_{x \to \dfrac{4}{3}^{+}} f(x) = +\infty.
- Calcul de \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) :
\lim\limits_{x \to +\infty} 3x-4 = +\infty \Rightarrow \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{3x-4} = +\infty
De plus :
\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{1}{X} = 0
On a donc :
\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0
Ainsi :
\lim\limits_{x \to \dfrac{4}{3}^{+}} f(x) = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0