Les parallélogrammesCours

I

Le parallélogramme

A

Définition

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

-

ABCD est un parallélogramme, on a \left(AB\right)//\left(CD\right) et \left(AD\right)//\left(BC\right).

B

Propriétés

Dans un parallélogramme :

  • Les diagonales se coupent en leur milieu.
  • Le centre du parallélogramme est le centre de symétrie.
  • Les côtés opposés sont parallèles.
  • Les côtés opposés sont de même longueur.
  • Les angles opposés sont de même mesure.
  • Deux angles consécutifs sont supplémentaires.
-

\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 180^\circ

C

Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

On ne considère ici que des quadrilatères non croisés.

Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si le centre d'un quadrilatère est le centre de symétrie, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si deux côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si les angles opposés d'un quadrilatère sont de même mesure, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

D

Aire du parallélogramme

Hauteur du parallélogramme

Une hauteur d'un parallélogramme est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Couramment, la hauteur se restreint au segment joignant le sommet au côté opposé.

-
Une hauteur peut être située à l'extérieur du parallélogramme.
-

L'aire d'un parallélogramme est égale à longueur d'une hauteur multipliée par la longueur du côté opposé.

-

L'aire de ce parallélogramme est égale à 3 \times 5 = 15\text{ cm}^2.

II

Les parallélogrammes particuliers

A

Le losange

Losange

Un losange est un quadrilatère possédant quatre côtés de même longueur.

-
Un losange est un parallélogramme possédant deux côtés consécutifs de même longueur.
Un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.

Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors ce parallélogramme est un losange.

Si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange.

B

Le rectangle

Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère possédant 4 angles droits.

-
Un rectangle est un parallélogramme possédant un angle droit.
Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur.

Si un parallélogramme possède un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.

Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.

C

Le carré

Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

-

Un carré étant à la fois un losange et un rectangle :

  • Un carré est un losange possédant un angle droit.
  • Un carré est un losange dont les diagonales sont de même longueur.
  • Un carré est un rectangle possédant deux côtés consécutifs de même longueur.
  • Un carré est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires.

Questions fréquentes

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