Le parallélogramme
Définition
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
ABCD est un parallélogramme, on a \left(AB\right)//\left(CD\right) et \left(AD\right)//\left(BC\right).
Propriétés
Dans un parallélogramme :
- Les diagonales se coupent en leur milieu.
- Le centre du parallélogramme est le centre de symétrie.
- Les côtés opposés sont parallèles.
- Les côtés opposés sont de même longueur.
- Les angles opposés sont de même mesure.
- Deux angles consécutifs sont supplémentaires.
\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 180^\circ
Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme
On ne considère ici que des quadrilatères non croisés.
Si le centre d'un quadrilatère est le centre de symétrie, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont de même mesure, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Aire du parallélogramme
Hauteur du parallélogramme
Une hauteur d'un parallélogramme est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Couramment, la hauteur se restreint au segment joignant le sommet au côté opposé.
L'aire d'un parallélogramme est égale à longueur d'une hauteur multipliée par la longueur du côté opposé.
L'aire de ce parallélogramme est égale à 3 \times 5 = 15\text{ cm}^2.
Les parallélogrammes particuliers
Le losange
Losange
Un losange est un quadrilatère possédant quatre côtés de même longueur.
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors ce parallélogramme est un losange.
Si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange.
Le rectangle
Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère possédant 4 angles droits.
Si un parallélogramme possède un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.
Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle.
Le carré
Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Un carré étant à la fois un losange et un rectangle :
- Un carré est un losange possédant un angle droit.
- Un carré est un losange dont les diagonales sont de même longueur.
- Un carré est un rectangle possédant deux côtés consécutifs de même longueur.
- Un carré est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires.