Nature d'un parallélogramme inscrit dans un cercle - 5e - Problème Mathématiques

Tracer un cercle de centre O.

Tracer deux diamètres \left[ AB \right] et \left[ CD \right].

Montrer que ACBD est un parallélogramme.

Les segments \left[ AB \right] et \left[ CD \right] étant des diamètres du cercle, on en déduit que O est le milieu de ces segments.

Cela signifie que les diagonales \left[ AB \right] et \left[ CD \right] du quadrilatère ACBD se coupent en leurs milieux O.

ACBD est donc un parallélogramme.

Les points A,B,C et D appartiennent au cercle de centre O.

ACBD est donc un parallélogramme.

On a AB=CD.

ACBD est donc un parallélogramme.

Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O. De plus, AB=CD.

ACBD est donc un parallélogramme.

Montrer que ACBD est un rectangle.

Le quadrilatère ACBD a ses côtés parallèles deux à deux. Or un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme. On en déduit que ACBD est un parallélogramme. De plus ses angles sont droits. Or un parallélogramme dont les angles sont droits est un rectangle. Donc ACBD est un rectangle.

On ne peut pas le démontrer.

On sait que \left[ AC \right] et \left[ AD \right] sont respectivement de même longueur que \left[ BD \right] et \left[ BC \right]. De plus les quatre angles de ACBD sont droits. Or on sait qu'un quadrilatère dont les côtés sont égaux deux à deux et les angles sont droits est un rectangle. On en déduit que ACBD est un rectangle.

Les segments \left[ AB \right] et \left[ CD \right] étant des diamètres du cercle, ils sont de même longueur.

On en déduit que le parallélogramme ACBD possède des diagonales de même longueur.

Or, un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.

Donc ACBD est un rectangle.