Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 27/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Les multiples d'un nombre entier
Multiple
Un multiple d'un nombre entier est un nombre qui contient plusieurs fois ce nombre entier.
72 est un multiple de 8. En effet, dans 72, il y a 9 fois le nombre 8 :
72=9\times8
Les multiples d'un nombre sont les nombres qui se trouvent dans la table de multiplication du nombre.
Les nombres 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 sont des multiples de 6.
Un nombre possède une infinité de multiples.
Pour savoir si un nombre b est un multiple d'un nombre a ou pas, on peut effectuer la division euclidienne de b par a et regarder si le reste obtenu est égal à 0.
- Si le reste est égal à zéro, alors b est un multiple de a.
- Si le reste n'est pas égal à zéro, alors b n'est pas un multiple de a.
Une autre méthode est de regarder si le nombre b figure dans la table de multiplication du nombre a.
On souhaite savoir si 54 est un multiple de 4.
On effectue la division euclidienne de 54 par 4 : dans 54, il y a 13 fois 4 et il reste 2.
54=13\times4+2
Le reste n'est pas égal à 0 donc 54 n'est pas un multiple de 4.
On souhaite savoir si 32 est un multiple de 4.
32 est dans la table de 4 : 8\times4=32.
Donc 32 est bien un multiple de 4.
Multiple commun à deux nombres entiers
Un multiple commun à deux nombres entiers a et b est un nombre qui est à la fois un multiple de a et un multiple de b.
- 12 est un multiple de 6 car 12=2\times6+0.
- 12 est un multiple de 4 car 12=3\times4+0.
Donc 12 est un multiple commun à 6 et 4.
Pour déterminer des multiples communs à deux nombres entiers a et b :
- On fait la liste des premiers multiples du nombre a.
- On fait la liste des premiers multiples du nombre b.
- Les nombres qui sont à la fois dans les deux listes sont des multiples communs à a et b.
On cherche à déterminer des multiples communs à 4 et 7.
- Liste des premiers multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, etc.
- Liste des premiers multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, etc.
Dans ces deux listes, on trouve 28 et 56 :
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, etc.
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, etc.
Par conséquent, 28 et 56 sont des multiples communs à 4 et 7.
Les diviseurs d'un nombre entier
Diviseur
Un diviseur d'un nombre entier est un nombre qui est contenu plusieurs fois dans ce nombre entier.
15 est un diviseur de 30. En effet, dans 30, il y a 2 fois le nombre 15.
30=2\times15
Dire qu'un nombre a est un diviseur d'un nombre b revient à dire que le nombre b est un multiple du nombre a.
« 6 est un diviseur de 48 » revient à dire que « 48 est un multiple de 6 ».
Les diviseurs d'un nombre n sont les nombres dont la table de multiplication contient le nombre n.
On considère le nombre 30.
30 est dans la table de multiplication des nombres suivants : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
En effet :
- 30=1\times30
- 30=2\times15
- 30=3\times10
- 30=5\times6
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 sont donc des diviseurs de 30.
Un nombre ne possède qu'un nombre limité de diviseurs.
Pour savoir si un nombre a est un diviseur d'un nombre b ou pas, on peut effectuer la division euclidienne de b par a et regarder si le reste obtenu est égal à 0.
- Si le reste est égal à zéro, alors a est un diviseur de b.
- Si le reste n'est pas égal à zéro, alors a n'est pas un diviseur de b.
On souhaite savoir si 7 est un diviseur de 47.
On effectue la division euclidienne de 47 par 7 : dans 47, il y a 6 fois 7 et il reste 5.
47=6\times7+5
Le reste n'est pas égal à 0 donc 7 n'est pas un diviseur de 47.
On souhaite savoir si 8 est un diviseur de 48.
On effectue la division euclidienne de 48 par 8 : dans 48, il y a 6 fois 8 et il reste 0.
48=6\times8+0
Le reste est égal à 0 donc 8 est un diviseur de 48.
Pour déterminer des diviseurs d'un nombre, il est utile de savoir décomposer ce nombre sous forme de différents produits.
On cherche à déterminer des diviseurs de 100.
On sait que 100=50\times2. Donc 50 et 2 sont des diviseurs de 100.
On sait que 100=25\times4. Donc 25 et 4 sont des diviseurs de 100 également.
Diviseur commun à deux nombres entiers
Un diviseur commun à deux nombres entiers a et b est un nombre qui est à la fois un diviseur de a et un diviseur de b.
- 6 est un diviseur de 54 car 54=9\times6.
- 6 est un diviseur de 30 car 30=5\times6.
Donc 6 est un diviseur commun à 54 et 30.
Pour déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b :
- On fait la liste des diviseurs du nombre a.
- On fait la liste des diviseurs du nombre b.
- Les nombres qui sont à la fois dans les deux listes sont des diviseurs communs à a et b.
On cherche à déterminer les diviseurs communs à 20 et 25.
- Liste des diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
- Liste des diviseurs de 25 : 1, 5, 25.
Dans ces deux listes, on trouve 1 et 5.
1, 2, 4, 5, 10, 20.
1, 5, 25.
Par conséquent, les diviseurs communs à 20 et 25 sont 1 et 5.
Résoudre des problèmes
On peut être amené à résoudre des problèmes à l'aide de la notion de multiple ou de celle de diviseur.
Adidja a 10 baguettes de bois mesurant chacune 8 cm. Béatrice a 10 baguettes de bois mesurant chacune 12 cm. Adidja et Béatrice ont construit chacune un chemin en mettant bout à bout certaines de leurs baguettes. Elles ont obtenu deux chemins de la même longueur.
Trouver toutes les longueurs possibles pour ces chemins.
On peut schématiser la situation ainsi :
Les baguettes d'Adidja mesurent 8 cm donc la longueur du chemin d'Adidja est un multiple de 8.
Les baguettes de Béatrice mesurent 12 cm cm donc la longueur du chemin de Béatrice est un multiple de 12.
Or, les deux chemins sont de même longueur. Par conséquent, les longueurs possibles pour ces chemins sont des multiples communs à 8 et 12.
Par ailleurs, au total, Adidja a 10 baguettes de 8 cm chacune donc elle peut faire un chemin de longueur 10\times 8\text{ cm}=80\text{ cm} au maximum.
Et Béatrice a 10 baguettes de 12 cm chacune donc elle peut faire un chemin de longueur 10\times 12\text{ cm}=120\text{ cm} au maximum.
Ainsi, on cherche à déterminer les multiples communs à 8 et 12 inférieurs à 80.
Les longueurs de chemins possibles sont donc : 24 cm, 48 cm et 72 cm.
Les côtés d'un rectangle ont pour longueurs des nombres entiers de centimètres. Son aire est de 24 cm2. On cherche à trouver toutes les dimensions possibles pour ce rectangle.
On peut schématiser ainsi :
On cherche à déterminer deux nombres dont le produit est égal à 24. Autrement dit, on cherche à déterminer les diviseurs de 24 dont le produit est égal à 24.
On sait que :
- 24=1\times24
- 24=2\times12
- 24=3\times8
- 24=4\times6
Par conséquent, toutes les dimensions possibles du rectangle sont :
- 1 cm et 24 cm
- 2 cm et 12 cm
- 3 cm et 8 cm
- 4 cm et 6 cm