Calculer la probabilité d'une réunion d'événements dans une situation d'équiprobabilité avec plusieurs issues positives Exercice

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « On obtient un nombre impair » ;
• B : « On obtient un nombre multiple de 6 ».

Or, comme 6 est un nombre pair, tous ses multiples sont pairs également.
Ainsi les événements A et B sont incompatibles.

Par conséquent, on a :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Les issues réalisant l'événement A sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7. Le nombre d'issues réalisant l'événement A est donc égal à 4. Le nombre total d'issues est égal à 8. Par conséquent :

P(A)=\dfrac{4}{8}

On calcule la probabilité de l'événement B. La seule issue réalisant l'événement B est 6. Le nombre d'issues réalisant l'événement B est donc égal à 1. Le nombre total d'issues est égal à 8. Par conséquent :

P(B)=\dfrac{1}{8}

On obtient donc :

P(A\cup B)=\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « La carte est un cœur » ;
• B : « La carte est un trèfle ».

Or, un cœur n'est pas un trèfle, les événements A et B sont incompatibles.

Par conséquent, on a :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Les issues réalisant l'événement A sont les 8 cœurs. Le nombre d'issues réalisant l'événement A est donc égal à 8. Le nombre total d'issues est égal à 32. Par conséquent :

P(A)=\dfrac{8}{32}

On calcule la probabilité de l'événement B. Les issues réalisant l'événement B sont les 8 trèfles. Le nombre d'issues réalisant l'événement B est donc égal à 8. Le nombre total d'issues est égal à 32. Par conséquent :

P(B)=\dfrac{8}{32}

On obtient donc :

P(A\cup B)=\dfrac{8}{32}+\dfrac{8}{32}=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « Multiple de 4 » ;
• B : « Multiple de 5 ».

Or, entre 1 et 10, aucun multiple de 4 n'est multiple de 5.
Ainsi, les événements A et B sont incompatibles.

Par conséquent, on a :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Les issues réalisant l'événement A sont 4 et 8. Le nombre d'issues réalisant l'événement A est donc égal à 2. Le nombre total d'issues est égal à 10. Par conséquent :

P(A)=\dfrac{2}{10}

On calcule la probabilité de l'événement B. Les issues réalisant l'événement B sont 5 et 10. Le nombre d'issues réalisant l'événement B est donc égal à 2. Le nombre total d'issues est égal à 10. Par conséquent :

P(B)=\dfrac{2}{10}

On obtient donc :

P(A\cup B)=\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « La carte est un roi » ;
• B : « La carte est une figure (valet, dame, roi) mais pas le roi de cœur ».

Or le roi de cœur est exclu de B, donc A et B sont incompatibles.

L'évènement A est composé de quatre issues : les rois de coeur, carreau, trèfle et pique.
L'évènement B est composé des issues suivantes : 4 rois, 4 dames, et 3 rois : pique, trèfle et carreau.
Ainsi A\cup B est réalisé lorsqu'au moins une de ces issues est réalisée.
A\cup B est composé des issues suivantes : 4 rois, 4 dames, 4 valets, soit 12 issues.

Comme il y a équiprobabilité :

P(A\cup B)=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « Le nombre est divisible par 3 » ;
• B : « Le nombre est divisible par 7 et non divisible par 3 ».

Or aucun nombre "divisible par 7 et non par 3" ne peut être divisible par 3, donc A et B sont incompatibles.

Par conséquent, on a :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Les issues réalisant l'événement A sont 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18. Le nombre d'issues réalisant l'événement A est donc égal à 6. Le nombre total d'issues est égal à 20. Par conséquent :

P(A)=\dfrac{6}{20}

On calcule la probabilité de l'événement B. Les issues réalisant l'événement B sont 7 et 14. Le nombre d'issues réalisant l'événement B est donc égal à 2. Le nombre total d'issues est égal à 20. Par conséquent :

P(B)=\dfrac{2}{20}

On obtient donc :

P(A\cup B)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{2}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}

La probabilité qu'un moins l'un des deux événements A ou B se réalise est égale à P(A \cup B).

Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. Autrement dit :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Ici, on a les événements A et B suivants :

• A : « On tire une boule rouge » ;
• B : « On tire une boule jaune ».

Or une boule ne peut pas être à la fois rouge et jaune, les événements A et B sont incompatibles.

Par conséquent, on a :

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Les issues réalisant l'événement A sont 6 boules. Le nombre d'issues réalisant l'événement A est donc égal à 6. Le nombre total d'issues est égal à 15. Par conséquent :

P(A)=\dfrac{6}{15}

On calcule la probabilité de l'événement B. Les issues réalisant l'événement B sont 5 boules. Le nombre d'issues réalisant l'événement B est donc égal à 5. Le nombre total d'issues est égal à 15. Par conséquent :

P(B)=\dfrac{5}{15}

On obtient donc :

P(A\cup B)=\dfrac{6}{15}+\dfrac{5}{15}=\dfrac{11}{15}