Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point O, centre de la rotation qui transforme A en B, d'angle 40° dans le sens anti-horaire ?
L'image du point A par la rotation de centre O et d'angle 40° dans le sens anti-horaire est le point B tel que :
- OA=OB ;
- \widehat{AOB}=40° ;
- B appartient au cercle de centre O et de rayon OA. On passe du point A au point B en se déplaçant dans le sens anti-horaire.
Le triangle AOB est donc isocèle en O tel que \widehat{AOB}=40°.
On a par conséquent :
\widehat{BAO}=\widehat{OBA}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle AOB, on a :
\widehat{AOB}+\widehat{BAO}+\widehat{OBA}=180°
On en déduit que :
\widehat{BAO}=\widehat{OBA}=\dfrac{180°-\widehat{AOB}}{2}=\dfrac{180°-\widehat{40}}{2}=\dfrac{140°}{2}=70°.
Ainsi, pour construire le point O, il suffit de construire un triangle AOB isocèle en O tel que :
- \widehat{BAO}=\widehat{OBA}=70° ;
- O soit à droite du segment [AB].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point O, centre de la rotation qui transforme A en B d'angle 40° dans le sens horaire, est donc :
Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point P, centre de la rotation qui transforme R en S, d'angle 100° dans le sens anti-horaire ?
L'image du point R par la rotation de centre P et d'angle 100° dans le sens anti-horaire est le point S tel que :
- PR=PS ;
- \widehat{RPS}=100° ;
- S appartient au cercle de centre P et de rayon PR. On passe du point R au point S en se déplaçant dans le sens anti-horaire.
Le triangle RPS est donc isocèle en P tel que \widehat{RPS}=100°.
On a par conséquent :
\widehat{PSR}=\widehat{PRS}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle RPS, on a :
\widehat{RPS}+\widehat{PRS}+\widehat{PSR}=180°
On en déduit que :
\widehat{PSR}=\widehat{PRS}=\dfrac{180°-\widehat{RPS}}{2}=\dfrac{180°-100°}{2}=\dfrac{80°}{2}=40°
Ainsi, pour construire le point P, il suffit de construire un triangle RPS isocèle en P tel que :
- \widehat{PSR}=\widehat{PRS}=40° ;
- P soit au-dessus du segment [RS].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point P, centre de la rotation qui transforme R en S d'angle 100° dans le sens anti-horaire, est donc :
Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point A, centre de la rotation qui transforme V en U, d'angle 30° dans le sens horaire ?
L'image du point V par la rotation de centre A et d'angle 30° dans le sens horaire est le point U tel que :
- AV=AU ;
- \widehat{VAU}=30° ;
- U appartient au cercle de centre A et de rayon AV. On passe du point V au point U en se déplaçant dans le sens horaire.
Le triangle VAU est donc isocèle en A tel que \widehat{VAU}=30°.
On a par conséquent :
\widehat{AVU}=\widehat{AUV}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle VAU, on a :
\widehat{AVU}+\widehat{UAV}+\widehat{VAU}=180°
On en déduit que :
\widehat{AVU}=\widehat{UAV}=\dfrac{180°-\widehat{VAU}}{2}=\dfrac{180°-30°}{2}=\dfrac{150°}{2}=75°
Ainsi, pour construire le point A, il suffit de construire un triangle VAU isocèle en A tel que :
- \widehat{AVU}=\widehat{UAV}=75° ;
- A soit à droite du segment [VU].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point A, centre de la rotation qui transforme V en U d'angle 30° dans le sens horaire, est donc :
Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point O, centre de la rotation qui transforme E en F, d'angle 90° dans le sens anti-horaire ?
L'image du point E par la rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens anti-horaire est le point F tel que :
- OE=OF ;
- \widehat{EOF}=90° ;
- F appartient au cercle de centre O et de rayon OE. On passe du point E au point F en se déplaçant dans le sens anti-horaire.
Le triangle EOF est donc isocèle en O tel que \widehat{EOF}=90°.
On a par conséquent :
\widehat{OEF}=\widehat{OFE}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici dans le triangle EOF, on a :
\widehat{OEF}+\widehat{OFE}+\widehat{EOF}=180°
On en déduit que :
\widehat{OEF}=\widehat{OFE}=\dfrac{180°-\widehat{EOF}}{2}=\dfrac{180°-90°}{2}=\dfrac{90°}{2}=45°
Ainsi, pour construire le point O, il suffit de construire un triangle EOF isocèle en O tel que :
- \widehat{OEF}=\widehat{OFE}=45° ;
- O soit au dessus et à gauche du segment [EF].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point O, centre de la rotation qui transforme E en F d'angle 90° dans le sens anti-horaire, est donc :
Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point P, centre de la rotation qui transforme M en N, d'angle 150° dans le sens horaire ?
L'image du point M par la rotation de centre P et d'angle 150° dans le sens horaire est le point N tel que :
- PM=PN ;
- \widehat{MPN}=150° ;
- N appartient au cercle de centre P et de rayon PM. On passe du point M au point N en se déplaçant dans le sens horaire.
Le triangle MPN est donc isocèle en P tel que \widehat{MPN}=150°.
On a par conséquent :
\widehat{PMN}=\widehat{PNM}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle MPN, on a :
\widehat{PMN}+\widehat{PNM}+\widehat{MPN}=180°
On en déduit que :
\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180°-\widehat{MPN}}{2}=\dfrac{180°-150°}{2}=\dfrac{30°}{2}=15°
Ainsi, pour construire le point P, il suffit de construire un triangle MPN isocèle en P tel que :
- \widehat{PMN}=\widehat{PNM}=15° ;
- O soit au-dessus et à droite du segment [MN].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point P, centre de la rotation qui transforme M en N d'angle 150° dans le sens horaire, est donc :
Parmi les propositions suivantes, sur quelle figure a-t-on correctement déterminé le point F, centre de la rotation qui transforme I en J, d'angle 70° dans le sens anti-horaire ?
L'image du point I par la rotation de centre F et d'angle 70° dans le sens anti-horaire est le point J tel que :
- FI=FJ ;
- \widehat{IFJ}=70° ;
- J appartient au cercle de centre F et de rayon FI. On passe du point I au point J en se déplaçant dans le sens anti-horaire.
Le triangle IFJ est donc isocèle en F tel que \widehat{IFJ}=70°.
On a par conséquent :
\widehat{FIJ}=\widehat{FJI}
Or, on sait que dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ici, dans le triangle IFJ, on a :
\widehat{FIJ}+\widehat{FJI}+\widehat{IFJ}=180°
On en déduit que :
\widehat{FIJ}=\widehat{FJI}=\dfrac{180°-\widehat{IFJ}}{2}=\dfrac{180°-70°}{2}=\dfrac{110°}{2}=55°
Ainsi, pour construire le point F, il suffit de construire un triangle IFJ isocèle en F tel que :
- \widehat{FIJ}=\widehat{FJI}=55° ;
- F soit en dessous du segment [IJ].
La figure sur laquelle on a correctement déterminé le point F, centre de la rotation qui transforme I en J d'angle 70° dans le sens anti-horaire, est donc :
