Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique Exercice

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Dernière modification : 20/12/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Dans un pays A, deux races de vaches sont élevées, la race limousine et la race charolaise. Dans un échantillon de 200 vaches on remarque qu'il y a une proportion p = \dfrac{2}{3} de vaches charolaises

Quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 601; 0, 732\right]

I = \left[ 0, 610 ; 0{,}723 \right]

I = \left[ 0, 106 ; 0{,}237 \right]

I = \left[ 0, 160 ; 0{,}273 \right]

Etape 1

Vérifications des conditions

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=200 donc n\geq 30
np = 200 \times \dfrac{2}{3}= \dfrac{400}{3} donc np\geq5
n\left(1-p\right) = 200\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{200}{3} donc n\left(1-p\right)\geq5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Etape 2

Calcul de l'intervalle de fluctuation

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, p = \dfrac{2}{3} et n = 200.

Donc on obtient :

I = \left[ \dfrac{2}{3}-1{,}96 \dfrac{\sqrt{ \dfrac{2}{3}\left(1- \dfrac{2}{3}\right)}}{\sqrt{200}}; \dfrac{2}{3}+1{,}96 \dfrac{\sqrt{ \dfrac{2}{3}\left(1- \dfrac{2}{3}\right)}}{\sqrt {200}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 601; 0, 732\right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence vaut I = \left[ 0, 601; 0, 732\right].

Dans un pays A, il y a une proportion de p=0{,}4 d'individus aux yeux marron. On considère un échantillon de n=600 individus.

Quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% correspondant ?

I = \left[ 0{,}360 ; 0{,}440 \right]

I = \left[ 0{,}431 ; 0{,}639 \right]

I = \left[ 0{,}248 ; 0{,}585 \right]

I = \left[ 0{,}381 ; 0{,}419 \right]

Dans un pays A, il y a une proportion de p=0{,}61 d'individus possédant un smartphone. On considère un échantillon de n=240 individus.

Que vaut un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% correspondant ?

I = \left[ 0{,}548; 0{,}672 \right]

I = \left[ 0{,}418; 0{,}801 \right]

I = \left[ 0{,}598; 0{,}621 \right]

I = \left[ 0{,}543; 0{,}676 \right]

Dans un pays A, il y a une proportion de p=0{,}47 des enfants entre 8 et 12 ans qui est abonné à un magazine. On considère un échantillon de n=90 individus.

Que vaut un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% correspondant ?

I = \left[ 0{,}342; 0{,}598\right]

I = \left[ 0{,}352; 0{,}588\right]

I = \left[ 0{,}157; 0{,}783\right]

I = \left[ 0{,}366; 0{,}574\right]

Un éleveur d'escargots possède deux espèces différentes, les petits gris et les gros gris. Il possède une proportion de p=0{,}77 de gros gris. On considère un échantillon de n=340 individus.

Que vaut un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% correspondant ?

I = \left[ 0{,}7\ 056; 0{,}814\right]

I = \left[ 0{,}725; 0{,}815\right]

I = \left[ 0{,}625; 0{,}914\right]

I = \left[ 0{,}352; 0{,}588\right]

Une usine fabrique deux types de sauces, une mayonnaise et sa version allégée. On sait que 38% des mayonnaises produites sont allégées. On considère un échantillon de n=170 sauces.

Que vaut un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% correspondant ?

I = \left[ 0{,}253; 0{,}507\right]

I = \left[ 0{,}223; 0{,}537\right]

I = \left[ 0{,}371; 0{,}389\right]

I = \left[ 0{,}307; 0{,}453\right]