Un site internet de VOD propose trois formules de téléchargement :
- F_{1} : abonnement mensuel de 80€ offrant la possibilité de télécharger un nombre illimité de films
- F_{2} : abonnement mensuel de 30€ permettant le téléchargement de films au tarif unitaire additionnel de 4€
- F_{3} : pas d'abonnement, téléchargement de films au tarif unitaire de 8€
Arthur visionne en général 15 films par mois. Combien lui coûterait chacune des formules ?
Pour chaque formule, Arthur calcule le prix mensuel qu'il devra payer pour télécharger 15 films sur ce site Internet.
Prix de la formule F_{1}
Pour 15 films téléchargés dans le mois avec la formule F_{1}, Arthur devra payer : 80€ (le prix de cette formule ne dépendant pas du volume de téléchargements).
Prix de la formule F_{2}
Pour 15 films téléchargés dans le mois avec la formule F_{2}, Arthur devra payer :
- 30€ d'abonnement
- 4€ par film, donc 15\times4=60 €
Au total il payera donc :
30 + 60 = 90 €
Prix de la formule F_{3}
Pour 15 films téléchargés dans le mois avec la formule F_{3}, Arthur devra payer 8€ par film soit :
15\times8=120 €
Pour 15 films téléchargés dans le mois, Arthur devra payer :
- 80€ avec la formule F_{1}
- 90€ avec la formule F_{2}
- 120€ avec la formule F_{3}
En appelant x le nombre de téléchargements effectués par mois, exprimer le prix mensuel de chaque formule en fonction de x.
Pour chaque formule, il est possible d'exprimer son prix mensuel en fonction du nombre x de téléchargements effectués dans le mois.
On définit ainsi une fonction pour chaque formule.
Prix mensuel en fonction du nombre de téléchargements pour la formule F_{1}
On appelle f_{1} le prix mensuel de la formule F_{1} en fonction de x :
f_{1}\left(x\right)=80
On remarque que la fonction f_{1} est constante, puisque le prix mensuel de la formule F_{1} est indépendant du nombre de téléchargements mensuels.
Prix mensuel en fonction du nombre de téléchargements pour la formule F_{2}
On appelle f_{2} le prix mensuel de la formule F_{2} en fonction du nombre de films téléchargés x.
Pour télécharger x films, le client paye :
- 30€ d'abonnement
- 4€ par film, soit 4x
On total on obtient :
f_{2}\left(x\right)=4x+30
On remarque que la fonction f_{2} est une fonction affine.
Prix mensuel en fonction du nombre de téléchargements pour la formule F_{3}
On appelle f_{3} le prix mensuel de la formule F_{3} en fonction du nombre de films téléchargés x :
Le client va payer 8€ par film, soit 8x au total.
f_{3}\left(x\right)=8x
On remarque que la fonction f_{3} est une fonction linéaire.
- Le prix mensuel de la formule F_{1} en fonction de x est : f_{1}\left(x\right)=80.
- Le prix mensuel de la formule F_{2} en fonction de x est : f_{2}\left(x\right)=4x+30.
- Le prix mensuel de la formule F_{3} en fonction de x est : f_{3}\left(x\right)=8x.
Tracer, dans un même repère, les représentations graphiques des trois fonctions exprimées à la question précédente.
Les fonctions f_{1}, f_{2} et f_{3} décrites précédemment sont respectivement constante, affine et linéaire.
Leurs représentations graphiques sont donc des droites. On appelle :
- D_{1} la droite représentative de la fonction f_{1}
- D_{2} la droite représentative de la fonction f_{2}
- D_{3} la droite représentative de la fonction f_{3}
Tracer la droite D_{1}
La fonction f_{1} étant constante égale à 80, la droite D_{1} est horizontale, et coupe l'axe des ordonnées en 80.
Tracer la droite D_{2}
On détermine deux points de cette droite.
La fonction f_{2} étant affine d'ordonnée à l'origine égale à 30, la droite D_{2} passe par le point de coordonnées \left(0 ; 30\right).
Pour déterminer un second point appartenant à la droite, on choisit une abscisse (par exemple x = 1 ), et on calcule l'ordonnée y correspondante :
y=4\times1+30=34
Le point de coordonnées \left(1;34\right) appartient également à la droite D_{2}.
On relie ces deux points afin de tracer la droite D_{2}.
Tracer la droite D_{3}
On détermine deux points de cette droite.
La fonction f_{3} étant linéaire, la droite D_{3} passe par l'origine du repère.
Pour déterminer un second point appartenant à la droite, on choisit une abscisse (par exemple x = 1 ), et on calcule l'ordonnée y correspondante :
y=8\times1=8
Le point de coordonnées \left(1;8\right) appartient également à la droite D_{3}.
On relie ces deux points afin de tracer la droite D_{3}.
Pierre souhaite comparer les trois formules suivant le nombre de films téléchargés dans le mois. Déterminer graphiquement la formule la plus avantageuse suivant le nombre de films téléchargés dans le mois.
Graphiquement, la formule la plus avantageuse correspond à la droite la moins haute.
On remarque que :
- Entre 0 et 7,5, la droite D_{3} est la moins haute.
- Entre 7,5 et 12,5, la droite D_{2} est la moins haute.
- À partir de 12,5, la droite D_{1} est la moins haute.
On en conclut que :
- Pour 1 à 7 téléchargements par mois, la formule F_{3} est la plus avantageuse.
- Pour 8 à 12 téléchargements par mois, la formule F_{2} est la plus avantageuse.
- À partir de 13 téléchargements par mois, la formule F_{1} est la plus avantageuse.